Schuldentilgung

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Einleitung und Begriffe

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:

Annuität	= der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
Zinsenanteil	= jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
Tilgungsanteil	= jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.

Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels:

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.

• Die Annuität beträgt € 10.
• Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
• Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
• Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

Merke:

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:

• Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
• Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant
• Zinsenschuld - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

Tilgungsplan

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung. Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind. Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	Schuld zu Beginn
1	$ZA_1$ Zinsanteil bei der ersten Zahlung	$TA_1$ Tilgungsanteil der ersten Zahlung	$A_1$ Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)	$RS_1$ Restschuld nach einem Jahr
2	$ZA_2$ Zinsanteil bei der zweiten Zahlung	$TA_2$ Tilgungsanteil der zweiten Zahlung	$A_2$ Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)	$RS_2$ Restschuld nach dem 2. Jahr
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

Hinweise

• Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:

$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$

• Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

Vorteile

• Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
• Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

Musterbeispiel

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

Lösung

1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans

• Die Anfangsschuld ist € 100.
• Die Anniuität ist konstant € 10.
• $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
• $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
• Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	100 €
1	$ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$ Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$	$10-1=9$ Allgemein: $TA=A-ZA$	$10$ Allgemein: $A=TA+ZA$	$100-9=91$ Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

• Die alte Restschuld beträgt € 91.
• Die Anniuität ist konstant € 10.
• $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
• $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
• Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	100 €
1	$ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$	$10-1=9$	$10$	$100-9=91$
2	$ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$ Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$	$10-0.91=9.09$ Allgemein: $TA=A-ZA$	$10$ Allgemein: $A=TA+ZA$	$91-9.09=81.91$ Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	100 €
1	$ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$	$10-1=9$	$10$	$100-9=91$
2	$.91$	$9.09$	$10$	$81.91$
3	$0.82$	$9.18$	$10$	$72.73$
4	$0.73$	$9.27$	$10$	$63.46$
5	$0.63$	$9.37$	$10$	$54.09$
6	$0.54$	$9.46$	$10$	$44.63$
7	$0.45$	$9.55$	$10$	$35.08$
8	$0.35$	$9.65$	$10$	$25.43$
9	$0.25$	$9.75$	$10$	$15.68$
10	$0.16$	$9.84$	$10$	$5.84$
11	$0.06$	$5.84$ Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.	$5.90$ $A=ZA+TA$	$0$

Achtung! Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84! Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch $$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$ $$ A= 5.84+0.06 $$ $$A= 6.90$$

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine Rente, da

• ein konstanter Betrag (=Annuität)
• in konstanten Zeitabständen

eingezahlt wird. Wichtig:

1. Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
2. Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die Formeln für den Barwert.

Musterbeispiele

1. Beispiel: Jährliche Zahlungen

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

Lösungen

Lösung für a)

• B=10.000
• n=5
• i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
• nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$ $$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$ $$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

Lösung für b)

• Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
• Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
• Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	10.000 €
1			$2246,27$
2			$2246,27$
3			$2246,27$
4			$2246,27$
5			$2246,27$

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

• $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
• $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
• $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
• usw.

Jahr	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	10.000 €
1	$400$	$1846.272$	$2246.27$	$ 8153.73$
2	$326.15$	$1920.12$	$2246.27$	$6233,61$
3	$249.34$	$1996.93$	$2246.27$	$4236,68$
4	$169.47$	$2076.80$	$2246.27$	$2159.88$
5	$86.40$	$2159.87$	$2246.27$	$ 0.01$

Achtung! Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

Lösung von c)

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

2. Beispiel: Monatliche Zahlungen

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

Lösungen

Lösung a)

• R=?
• B=10.000
• n=$5\cdot 12=60$
• i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$

!!Achtung!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der konforme Zinssatz berechnet werden!!

• nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$ $$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

Lösung b)

• Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
• Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
• Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

Monat	Zinsateil ZA	Tilgungsanteil TA	Annuität A	Restschuld RS
0	0	0	0	10.000 €
1	$32,70$	$251,47$	$284,17$	$9748,53$
2	$31,88$	$252,29$	$284,17$	$9496,24$
3	$31,05$	$253,12$	$284,17$	$9243,12$

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen

Online-Materialien:

• Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler