Konfidenzintervall
Einleitendes Video
Einleitung
In der beurteilenden Statistik werden Beziehungen zwischen einer Grundgesamtheit und dazugehörigen Stichproben untersucht. Vielfach steht für praktische Anwendungen die Grundgesamtheit nicht oder nicht mehr zur Verfügung. Deshalb werden geeignete Stichproben genutzt, um Rückschlüsse auf die betreffende Grundgesamtheit treffen zu können.
Beispielsweise ist es für eine Wahlprognose zu aufwändig, alle Wähler (= Grundgesamtheit) zu befragen. Stattdessen wird nur eine Stichprobe von Wählern befragt und anschließend wird versucht, von dem Ergebnis der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.
Problemstellungen
Im Folgenden unterscheiden wir zwei Fragestellungen:
| 1) Bei einer Wahl erhielt die Partei A insgesamt $40,5 \%$ aller Stimmen. Nach dem Auszählen der Stimmen werden zufällig $100$ Stimmzettel ausgewählt. Auf wie vielen Stimmzetteln der Stichprobe wird die Partei A angekreuzt sein? $\qquad$ | 2) Bevor die Stimmzettel einer Wahl ausgezählt werden, zieht man $100$ Stimmzettel zufällig aus den Wahlurnen. Auf $44$ Stimmzetteln ist die Partei A angekreuzt. Welchen Stimmenanteil hat diese Partei in der Gesamtheit erreicht? |
1) Von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Schätzbereich:
Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit $p$ und der Stichprobenumfang $n$ sind bekannt. Es sei $H$ die absolute Häufigkeit der Partei-A-Wähler in der Stichprobe. Es soll ein $\gamma$-Schätzbereich ermittelt werden.
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$\gamma$-Schätzbereich Das symmetrisch um $p$ liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit $h$ mit der Wahrscheinlichkeit (Sicherheit) $\gamma$ enthält, heißt $\gamma$-Schätzbereich. |
Im Beispiel mit $n=100$ und $p=0.405$ soll ein $90\%$-Schätzbereich um den Erwartungswert $\mu$ ermittelt werden. Wegen $n\cdot p\cdot (1-p) > 9$ darf die Binomialverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden.
Zunächst ermitteln wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:
$\mu=n\cdot p=100\cdot 0.405=40.5$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\approx 4.91$
Für einen $90\%$-Schätzbereich um $\mu$ gilt:
$P(x_{min}\leq H \leq x_{max})=0.9$
