Differenzen- und Differentialquotient

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Was lernst du hier

• Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante.
• Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente.

Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)

Definition

Definition:
Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$: $$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an.	Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante s.

Bemerkungen:

• $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
• Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
• Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$

• Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen

Video-Erklärung

Video zum Differenzenquotienten
Hinweise zum Video: Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet. WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit! $$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
Aufgaben Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle 3:23min eine quadratische Regression, um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!) Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat. Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
Lösungen Tabelle $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$ $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $ Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)

Beispiele

3. Klasse-Buch: S. 41

Der Differentialquotient (= momentane Steigung)

Definition

Definition:
Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x $$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ wird als Differentialquotient bezeichnet. Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x)$ an.	Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.

Bemerkungen:

• Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante immer mehr der Tangente nähert.

• Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen

Video-Erklärung

Video zum Differentialquotienten
Hinweise zum Video: Dieses Video ist die Fortsetzung des Video zum Differenzenquotienten. Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet. WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit! $$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
Aufgaben Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
Lösungen 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$ $\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)=2\cdot x \end{align}$ Graphische Lösung der Aufgabe 2 2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2: $$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.