Matrizen
Matrizen sind eine n\"utzliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu l\"osen oder auch um Tabellen \"ubersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenh\"ange zwischen mehreren Gr\"o"sen herzustellen.
Einführung
Eine $2\times2$ Matrix besteht aus 2 Zeilen und 2 Spalten, sie sieht zum Beispiel so aus
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $
Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$ und $ a_{12}$ die erste Zeile, $a_{21}$ und $ a_{22} $ die zweite Zeile, $a_{11}$ und $ a_{21}$ die erste Spalte und $a_{12}$ und $a_{22}$ die zweite Spalte.
Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8$
$ \qquad A= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} $
Was ist die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix}
8 & 12 &17 \\
3,9 & 5 & 84,7 \\
4,5 &63 & 9,6\\
\end{pmatrix} $ und was ist die 3. Spalte der Matrix $F$?
3.Spalte $\left(\begin{array}{c} 17 \\ 84,7 \\ 9,6 \end{array}\right)$
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$m \times n$ Matrix
$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $ Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten. |
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Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten. |
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Bei der Addition von Matrizen, werden die einzelnen Komponenten miteinander addiert.
dann ist $$A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} & \dots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} +b_{22} &\dots & a_{1n}+ b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2}+ b_{m2} & \dots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix} $$ |
Bei der $2\times 2$ Matrix schaut das wie folgt aus
$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $
$ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} $
dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$
Addiere die Matrizen $\quad C= \begin{pmatrix}
8 & 6 \\
0 & -4 \\
\end{pmatrix} \quad $ und
$\quad D= \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
5 & 3 \\
\end{pmatrix}$.
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Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert.
$ k \cdot A= \begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} &k \cdot a_{m2} & \dots & k \cdot a_{mn} \\ \end{pmatrix} $ |
Multipliziere die Matrix $\quad E= \begin{pmatrix}
7 & 2 \\
9 & 0 \\
\end{pmatrix} \quad $ mit $3$.
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Nullmatrix
Die Nullmatrix sieht wie folgt aus: $ 0= \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \\ \end{pmatrix} $ |
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Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich \"uberall Nullen. Zudem ist sie ein quadratische Matrix. $ I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 & \dots & 1 \\ \end{pmatrix} $ |
Wie sieht die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum aus?
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Transponierte Matrix
Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte: $A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $ dann ist $A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} &a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} &a_{23} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $ |
Wie sieht die transponierten Matrizen zu der Matrix $B$ und $C$ aus?\\
$\quad B= \begin{pmatrix}
9 & 4 \\
654 & 274 \\
\end{pmatrix} $
$\quad C= \begin{pmatrix}
65 & 4,7 &6 &9 &89 \\
8,3 & 2,4 & 7 & 3&1 \\
4 & 2 & 0 & 7,9 & 5\\
\end{pmatrix} $
$\quad C^T= \begin{pmatrix} 65 & 8,3 & 4\\ 4,7 & 2,4 & 2\\ 6 & 7& 0 \\ 9& 3 & 7,9\\ 89 & 1 & 5\\ \end{pmatrix} $
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Matrizenmultiplikation
Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$. Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, so $B$ eine $n \times p$ Matrix sein, wobei $m$ und $p$ beliebig sind und $n$ bei $A$ und $B$ die gleichen sein müssen. Au\"serdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und die selbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$. |
Sei die Matrix $A$ zum Beispiel eine $2 \times 2$ Matrix und $B$ eine $2 \times 3$ Matrix. Dann ist die Matrix $A \cdot B = C$ eine $2 \times 3$ Matrix.
Wie erhält man nun die einzelnen Koeffizienten der Matrix $C$?
\url{https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ}
Die Durchführung der Matrizenmultiplikation kann mit Hilfe der
Falk'schen Anordnung erfolgen:
| Beispiel | Beispiel |
| Beispiel | Beispiel |
== Überschrift 3 == Gozinto-Graphen
Matura-Aufgaben
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