Rentenrechnung

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Definition: Rente

Definition

Unter einer Rente versteht man Einzahlungen, die in gleichen Zeitabständen UND immer in gleicher Höhe getätigt werden. Die Einzahlungen werden als Raten (R) bezeichnet.

Typische Beispiele einer Rente sind:

• Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
• Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
• "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

Begriffe

Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

Unterscheidungsmerkmal	Anfang	Ende
Zeitpunkt der Einzahlung	vorschüssig = am Anfang der Zahlungsperiode	nachschüssig = am Ende der Zahlungsperiode
Zeitpunkt des Gesamtwertes	Barwert = Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)	Endwert = Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
Einzahlungsperiode	Ganzjährige Rente =Einzahlungen erfolgen jährlich)	Unterjährige Rente = Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).

!Wichtig! Bei unterjährigen Renten muss der äquivalente Zinssatz berechnet werden.

Musterbeispiel

Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer KESt von 25%.

Lösung

1. Gegeben und Gesucht
   • Rate R=1200
   • nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
   • ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
   • $i=4\%$
     $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\ \rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
   • Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
     
     
     
2. Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
   
3. Antwortsatz

   Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

Formeln

Sei

$ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen

$ r\dots $ der (äuqivalente) Aufzinsungsfaktor

$ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$

	vorschüssig	nachschüssig
Barwert	$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$	$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
Endwert	$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$	$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

Herleitung der Formeln

Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$ wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: Herleitung der Endwertformel

Musterbeispiel einer unterjährigen Rente

Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem äquivalenter Zinssatz gerechnet werden.

Angabe: Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.

Lösung

• $B=15000$
• $n=10\cdot 12=120$
• $i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
• nachschüssig
• $R=$?

Durch Verwendung der nachschüssigen Barwertformel ergibt sich:

$\begin{align} B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} v\cdot (v^{120}-1))\\ \end{align}$

$\begin{align} \frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\ \end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29 Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1! (Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

TVM-Solver (Rechnen im TR)

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine Erklärung des Programms !! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

Beispiele

Sparkonto (Bifie-Aufgabe)

Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)

Bausparen (Bifie-Aufgabe)

Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung) Siehe Schuldentilgung

Rücklage (Bifie-Aufgabe)