Vektorrechnung
Koordinatensystem
Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
- die x-Achse (waagrecht) und
- die y-Achse (senkrecht)
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung; seine Koordinaten sind (0/0).
Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.
Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Koordinate dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten.
Punkte
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).
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Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als P(x/y) ($\mathbb{R^2}$) bzw. P(x/y/z) ($\mathbb{R^3}$).
Die erste Koordinate entspricht also der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. |
Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
- A(2/0)
- B(0/-2)
- C(-1/2)
Vektoren
Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
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Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$).
Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet. |
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Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierter Pfeile! |
Mit Hilfe von Vektoren lassen sich also Bewegen darstellen. Ein einfaches Beispiel wäre, einen Punkt zu verschieben.
