Rentenrechnung
Inhaltsverzeichnis
Definition: Rente
| Definition | Unter einer Rente versteht man Einzahlungen, die
getätigt werden. Die Einzahlungen werden als Raten (R) bezeichnet. |
Typische Beispiele einer Rente sind:
- Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
- Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
- "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)
Begriffe
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:
| Unterscheidungsmerkmal | Anfang | Ende |
|---|---|---|
Zeitpunkt der Einzahlung |
vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode |
nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode |
Zeitpunkt des Gesamtwertes |
Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden) |
Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart) |
Einzahlungsperiode |
Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich) |
Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich). |
!Wichtig! Bei unterjährigen Renten muss der äquivalente Zinssatz berechnet werden.
Musterbeispiel
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer KESt von 25%.
Lösung
- Gegeben und Gesucht
- Rate R=1200
- nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
- ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
- $p=4\% \rightarrow p_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
- $\rightarrow r=1+\frac{p_{eff}}{100}=1.03 $
- Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
- Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
- Antwortsatz
- Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.
Formeln
Herleitung der Formeln
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$B=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen.
Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente
Musterbeispiel einer unterjährigen Rente
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem äquivalenter Zinssatz gerechnet werden.
