Exponentialfunktionen(3.5.)
Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite Wachstums- und Zerfallsprozesse!
| Definition: | Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+, \lambda \in \mathbb{R} $$ |
Hinweise
- $e$ steht für die Eulersche Zahl
- $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
Inhaltsverzeichnis
Graph der Exponentialfunktion
Je nach Größe der Parameter a und b bzw. λ verändert sich der Graph:
| b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch: $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso) |
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| a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt. | ||
| für $a>1$ oder $\lambda>0$ |
ist der Graph monoton steigend. Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph |
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| für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$ | ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der x-Achse | 
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Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)
Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
- Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
- Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse
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Beispiele zur Bestimmung der FunktionsgleichungAllgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann. 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die Parameter a und b.
Lösung: Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die Parameter a und b.
Lösung: Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des Einsetzungsverfahren lösen: Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei: $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ und setzen dies nun in II ein: $II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$ $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$ $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$ $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$ $$II: \ b^2=1 $$ $$II: \ b=\pm 1$$ Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$ Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die Parameter $\lambda$ und b Lösung:
2. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten: $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$ $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$ Nun wenden wir den Logarithmus an: $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$ $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$ $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$ $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$ $$\underline{1.1=\lambda}$$ Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e{\lambda\cdot x}$ (leicht)Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Für welches [Argument] gilt
Lösung: Lösung für a)
Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist: $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$ $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$ $$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$ $$\underline{\underline{x = 4.74}}$$ Alternative Lösungswege:
Lösung für b) Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine Asymptote ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$ Alternativer Lösungsweg:
$$ f(x)=0$$ $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$ $$ -0.4\cdot x\cdot ln(e)=ln(0)$$ Da der Logarithmus nur für positive x-Werte definiert ist ($\double{D}=\double{R^+}$) ist $ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst). Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot ln(e)=ln(0)$ keine Lösung. Lösung für c) Auch hier gibt es keine Lösung, da der Wertebereich der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt. (Siehe Abbildung) |
