Kurvendiskussionen

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Überblick und Einleitung

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:

• Monotonieverhalten
• Nullstellen
• Extremwerte
• Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
Gibt an ...	den Funktionswert an der Stelle x	die Steigung von f an der Stelle x	die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)
physikalische Interpretation	Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm oder Höhe eines Objektes etc.	momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x	Beschleunigung an der Stelle x
wenn $>0$	Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse	$f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.	$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.
wenn $<0$	Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse	$f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.	$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig) Die Steigung nimmt ab.
wenn $=0$	Nullstelle	Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.	Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.