Potenz- und Polynomfunktionen

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Potenzfunktionen - Allgemeines

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \ \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q} $

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten - Wurzelfunktionen

Graphen von Potenzfunktionen

Je nach Größe der Parameter a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

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Bedeutung der Hochzahl n für den Funktionsgraphen

Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$)

Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph monoton steigend. Je größer n ist, desto mehr "schmiegt" sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der x-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative x-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ.Diese Potenzfunktion haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.

Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen ). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.

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Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton fallend als auch im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe Potenzregeln leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte "Sprungstelle". Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton steigend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine "Sprungstelle". Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^-2$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Bedeutung des Parameters a für den Funktionsgraphen

Das folgende GeoGebra-Applett soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters a zu verstehen.

Aufgabenstellungen zum Applett

1. Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters a auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von a. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
2. Stelle den Wert von n nun auf 1. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von a angibt.
3. Stelle den Wert von n nun auf 2. Beobachte, wie sich die Veränderung von a auf den Funktionsgraphen auswirkt.

Lösungen zu den Aufgabestellungen

1. Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes "umzudrehen".
2. Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind lineare Funktionen, bei denen "d"=0 ist. Der Parameter a gibt somit die Steigung der Geraden an.
3. Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du hier.

Polynomfunktionen

Definition

Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ oder in Kurzschreibweise: $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ der höchste Exponent n gibt dabei den "Grad" des Polynoms an. $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die y-Achse geschnitten wird.

Beispiel:

• für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
• für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

typische Verläufe von Polynomfunktionen

Online-Übungen

? Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms