Formeln

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Was ist eine Formel?

Eine mathematische Formel ist eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen herstellt.

Beispiel: Die Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck lautet $$ A=\frac{a\cdot b}{2}$$ und stellt einen Zusammenhang zwischen der Dreiecksfläche $A$ und den beiden Katheten $a$ und $b$ dar.

Beispiele für Formeln:

• Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$
• Große Lösungsformel: $x_{1,2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$
• 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Umformen von Formeln

Oft ist es wichtig, eine Formel umzuformen, um eine Variable freizustellen. Um die Formel umzuformen, verwendet man Äquivalenzumformungen.

Wichtig ist dabei immer folgendes:

Merke:

$\;$ Wenn die freizustellende Variable in einem Nenner steht, immer zuerst den Bruch auflösen (z. B. mit dem Nenner multiplizieren) $\;$ Anschließend immer zuerst die Terme auf die andere Seite bringen, die von der freizustellenden Variablen am weitesten entfernt sind.

Musterbeispiel:

Gegeben ist die Flächenformel des Trapezes: $$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h $$

• a) Stelle $h$ frei.
• b) Stelle $a$ frei.

Lösung für a)

$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |\cdot 2$$ $$ 2\cdot A=(a+c)\cdot h\ \ \ |:(a+c) \ \ \textrm{Achtung: Klammer nicht vergessen!}$$ $$ \underline{\underline{\frac{2\cdot A}{a+c}=h}}$$

Lösung für b)

$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |:h$$ $$\frac{A}{h}=\frac{a+c}{2}\ \ \ |\cdot 2$$ $$\frac{2\cdot A}{h}=a+c \ \ \ |-c$$ $$\underline{\underline{\frac{2\cdot A}{h}-c=a}}$$

Hinweis 1: Bei dieser Aufgabe hätte man auch zuerst mit $2$ multiplizieren und erst nachher durch $h$ dividieren können (oder beides gleichzeitig) - das Ergebnis wäre dasselbe.

Hinweis 2: Wer will, kann in der letzten Zeile $c$ auch in den Zähler "heben" und erhält: $$\frac{2\cdot A-c\cdot h}{h}=a$$

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.

• $Bifie$ Hochbeet (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Lineare Funktionen

• * $Bifie$ Autorennspiel (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für c) Wahrscheinlichkeitsrechnung (erst in der 5. Klasse)

• $Bifie$ Milchverpackung (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) Trigonometrie und für c) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)

• $Bifie$ Torten (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Funktionen und für d) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)