Matrizen
Matrizen sind eine nützliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungen zu lösen oder auch um Tabellen übersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenhänge zwischen mehreren Größen herzustellen.
Einführung
Eine $2\times2$ Matrix besteht aus 2 Zeilen und 2 Spalten, sie sieht zum Beispiel so aus
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $
Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$ und $ a_{12}$ die erste Zeile, $a_{21}$ und $ a_{22} $ die zweite Zeile, $a_{11}$ und $ a_{21}$ die erste Spalte und $a_{12}$ und $a_{22}$ die zweite Spalte.
Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8$
$ \qquad A= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} $
Was ist die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix}
8 & 12 &17 \\
3,9 & 5 & 84,7 \\
4,5 &63 & 9,6\\
\end{pmatrix} $ und was ist die 3. Spalte der Matrix $F$?
3.Spalte $\left(\begin{array}{c} 17 \\ 84,7 \\ 9,6 \end{array}\right)$
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$m \times n$ Matrix
$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $ Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten. |
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Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten. |
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Bei der Addition von Matrizen, werden die einzelnen Komponenten miteinander addiert.
dann ist $$A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} & \dots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} +b_{22} &\dots & a_{1n}+ b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2}+ b_{m2} & \dots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix} $$ |
Bei der $2\times 2$ Matrix schaut das wie folgt aus
$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $
$ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} $
dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$
Addiere die Matrizen $\quad C= \begin{pmatrix}
8 & 6 \\
0 & -4 \\
\end{pmatrix} \quad $ und
$\quad D= \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
5 & 3 \\
\end{pmatrix}$.
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Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert.
$ k \cdot A= \begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} &k \cdot a_{m2} & \dots & k \cdot a_{mn} \\ \end{pmatrix} $ |
Multipliziere die Matrix $\quad E= \begin{pmatrix}
7 & 2 \\
9 & 0 \\
\end{pmatrix} \quad $ mit $3$.
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Nullmatrix
Die Nullmatrix sieht wie folgt aus: $ 0= \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \\ \end{pmatrix} $ |
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Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich überall Nullen. Zudem ist sie ein quadratische Matrix. $ I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 & \dots & 1 \\ \end{pmatrix} $ |
Wie sieht die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum aus?
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Transponierte Matrix
Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte: $A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $ dann ist $A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} &a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} &a_{23} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $ |
Wie sieht die transponierten Matrizen zu der Matrix $B$ und $C$ aus?\\
$\quad B= \begin{pmatrix}
9 & 4 \\
654 & 274 \\
\end{pmatrix} $
$\quad C= \begin{pmatrix}
65 & 4,7 &6 &9 &89 \\
8,3 & 2,4 & 7 & 3&1 \\
4 & 2 & 0 & 7,9 & 5\\
\end{pmatrix} $
$\quad C^T= \begin{pmatrix} 65 & 8,3 & 4\\ 4,7 & 2,4 & 2\\ 6 & 7& 0 \\ 9& 3 & 7,9\\ 89 & 1 & 5\\ \end{pmatrix} $
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Matrizenmultiplikation
Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$. Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, so $B$ eine $n \times p$ Matrix sein, wobei $m$ und $p$ beliebig sind und $n$ bei $A$ und $B$ die gleichen sein müssen. Außerdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und die selbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$. |
Sei die Matrix $A$ zum Beispiel eine $2 \times 2$ Matrix und $B$ eine $2 \times 3$ Matrix. Dann ist die Matrix $A \cdot B = C$ eine $2 \times 3$ Matrix.
Wie erhält man nun die einzelnen Koeffizienten der Matrix $C$?
\url{https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ}
Die Durchführung der Matrizenmultiplikation kann mit Hilfe der Falk'schen Anordnung erfolgen:
| $ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pq} \\ \end{pmatrix} $ | |
| $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{np}\\ \end{pmatrix} $ | $ \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1q}\\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nq} \end{pmatrix} $ |
Es werden dann eben die Spalten von $B$ über die Zeilen von $A$ gelegt, die Komponenten dann multipliziert und dann die Ergebnisse addiert.
Wobei $$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + \dots + a_{1p} \cdot b_{p1} \\ c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + \dots + a_{1p} \cdot b_{p2} \\ c_{1q} = a_{11} \cdot b_{1q} + a_{12} \cdot b_{2q} + \dots + a_{1p} \cdot b_{pq} \\ \vdots \\ c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + \dots + a_{2p} \cdot b_{p1}\\ \vdots \\ c_{nq} = a_{n1} \cdot b_{1q} + a_{n2} \cdot b_{2q} + \dots + a_{np} \cdot b_{pq}$$
Konkret heißt das an einem Beispiel:
| $ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\ 9 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} $ | |
| $ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} $ | $ \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13}\\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{pmatrix} $ |
Wobei $$c_{11} = 2 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = 61\\ c_{12} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 =2\\ c_{13} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 =31\\ c_{21} = 4 \cdot 8 + 7 \cdot 9 =95\\ c_{22} = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 0 =4\\ c_{23}= 4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 =47$$
Also
$$ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\
9 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\
4 & 7 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
61 & 2 & 31\\
95 & 4 & 47 \\
\end{pmatrix}
$$
Berechne $A \cdot B =
\begin{pmatrix}
5 & 7 & 1 \\
8 & -1 & 4 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
9 & 7 \\
3 & -6 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$
== Überschrift 3 == Gozinto-Graphen
Matura-Aufgaben
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