Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ mit $a,\ b,\ c\in \mathbb{R}$, wobei $a\neq 0$ ist. |
Beispiele:
- $0=4x^2-3x+10$ (hier ist $a=4,\ b=-3$ und $c=10$)
- $0=x^2-1$ (hier ist $a=1,\ b=0$ und $c=-1$
Inhaltsverzeichnis
Lösung der allgemeinen Form - die große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung kann in der Regel nicht durch einfaches umformen gelöst werden (außer es handelt sich um einen Sonderfall (siehe unten)).
Stattdessen verwendet man hier die große Lösungsformel:
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Die große Lösungsformel
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Dann lassen sich die beiden Lösungen mit der folgenden Formel berechnen: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ wobei $x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ die erste Lösung und $x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ die zweite Lösung der Gleichung ist. |
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Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 Lösungen (siehe unten: Lösungsmöglichkeiten) |
Hinweis:
- Der Solve-Befehl eignet sich im Allgemeinen NICHT für quadratische Gleichungen, da der Solve-Befehl nur eine Lösung anzeigt.
- Mit GeoGebra kann der Löse-Befehl verwendet werden.
Sonderfall: $0=a\cdot x^2+b\cdot x$
In diesem Fall kann die erste Lösung sofort abgelesen werden: $x_1=0$ ist eine Lösung, da $a \cdot 0^2+b \cdot 0=0$ unabhängig von a und b. Die fehlende Lösung erhält man durch elementare Umformungen:
\begin{align} 0 &=a \cdot x^2+b \cdot x \ \ \ \ \text{Division durch x für} \ x \neq 0 \\ 0 &=a \cdot x +b \\ -b &=a \cdot x \\ \frac{-b}{a}& =x \end{align}
Sonderfall: $0=a\cdot x^2+c$
Für diesen Fall erfolgt die Lösung direkt durch einfache Umformungsschritte:
\begin{align} 0 &=a \cdot x^2+c \\ -c &=a \cdot x^2 \\ \frac{-c}{a} &= x^2 \\ \sqrt[2]{\frac{-c}{a} }&=x\\ \end{align}
