Vektorrechnung
Inhaltsverzeichnis
Koordinatensystem
Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
- die x-Achse (waagrecht) und
- die y-Achse (senkrecht)
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen.
Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).
Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.
Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Koordinate dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.
Punkte
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).
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Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_3)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ ($\mathbb{R^3}$).
Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. |
Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
- A(2/0)
- B(0/-2)
- C(-1/2)
Vektoren
Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
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Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$).
Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet. |
Ortsvektoren
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:
Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
Addition und Subtraktion
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: "Spitze minus Schaft"
Im Beispiel rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).
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Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm x_2 \\ y_1 \pm y_2 \end{array} \right)$ |
Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $B-A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$
Beachte außerdem: $\vec{AB} = -\vec{BA}$
Produkt eines Vektors mit einem Skalar
Dieses Thema ist zwar ziemlich einfach, soll aber der Vollständigkeit halber nicht ausgelassen werden. Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einem Skalar $k$ multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:
$k \cdot \vec{v} = \left( \begin{array}{c} k \cdot x \\ k \cdot y \end{array} \right)$
Dies gilt analog in allen Dimensionen!
Wie Vektoren zueinander stehen
Vektoren können rein gar nichts miteinander zu tun haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen (wie in den Bildern 1-4 unten), rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings genauso möglich.
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Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile!
Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ im Bild rechts unten sind derselbe Vektor! |
Wir sehen, dass in Bild 1 und 2 die Vektoren parallel zueinander sind. Aber wie können wir das durch Rechnen herausfinden? Ganz einfach:
2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn sie linear abhängig voneinander sind!
Linear unabhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor nicht als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann.
- Bild 1: $ \ 2\cdot \vec{v} = \vec{u} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
- Bild 2: $ \ -1\cdot \vec{v} = \vec{w} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{w}$
- Bild 3: $ \ \nexists \ k : k \cdot \vec{v} = \vec{t} \ \Rightarrow l.u. \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{t}$
- Bild 4: $ \ \vec{v_1} = \vec{v_2} = \vec{v} \ \Rightarrow \vec{v_1} \parallel \vec{v_2}$
für linear unabhängige Vektoren:
Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.
Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.
Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:
$$II: 5k = 3$$
Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2. Setzen wir dieses k in die zweite Gleichung ein, erhalten wir eine falsche Aussage. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren linear unabhängig und somit nicht parallel zueinander sind.
Betrag und Einheitsvektor
Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:
Der Einheitsvektor, oder auch Norm eines Vektors genannt, ist nun nichts anderes als der Vektor dividiert durch seine Länge. Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des Ursprungsvektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt (deshalb "Norm")!
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.
Vektoren
Normalvektoren
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren.
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Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor. |
--Melissa Lajtos (Diskussion) 23:44, 31. Aug. 2015 (CEST)
