Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 7. Juli 2014, 11:46 Uhr
In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.
Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
- lineare Funktionen y=kx+d
- Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{lambda \cdot x}$
- quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$
Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
- $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
- $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
- $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)
Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$
Definition und Verwendung
Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$
- Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
- Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme
Hinweise:
- Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
- Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
- Herleitung der Funktionsgleichung:
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.
Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde: $$N(1)=N_0+k$$ Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist $$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$ Und nach 3 Stunden gilt $$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$ Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden: $$N(t)=N_0+k\cdot t$$
Musterbeispiel
Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$
Definition und Verwendung
Eine größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor a wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$ | $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$ | |||||
| $a ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen)
Beispiel:
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$\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $ |
Verdoppelungszeit
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit, wie lang ein Wert braucht, bis er sich verdoppelt hat, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:
| Definition: Verdoppelungszeit $\tau $ |
Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$ |
1. Musterbeispiel:
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
- a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
- b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
- c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
- Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.
Lösung
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$
b)
- $N_0=100$
- $a=1.065$
- $N(t)=200$
- $t=$?
$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$
c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.
Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.
2. Musterbeispiel:
Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
- a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
- b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.
Lösung
a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.
b)
- Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t$$ Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist! $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.
3. Musterbeispiel:
Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
- a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
- b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.
Lösung:
a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^17$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17}$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.
b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
- nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
- Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!
Merke: |
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Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum
Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:
| lineares Wachstum | exponentielles Wachstum |
|---|---|
| Addition um eine konstante Zahl | Multiplikation um einen konstanten Faktor |
| immer $+k$ | immer $\cdot a$ |
| Graph ist eine Gerade | Graph ist eine exponentielle Kurve |
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k | wächst immer schneller |
Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell
Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
- Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
- Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
- Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
- Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
- Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
Lösung:
- Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: exponentiell mit $a=1.05$
- Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: linear mit $k=4$ cm
- Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: exponentiell mit $a=1.2$
- Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: linear mit $k=1$ cm
- Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
- Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme
Siehe hier noch Bspe von Langer
Mache hier Learning-App-Quiz
Musterbeispiel
Exponentielle Abnahme
Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$
Definition und Verwendung
Musterbeispiel
Beschränktes und Logistisches Wachstum
Durchmischte Beispiele
Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden
