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| | [[Datei:Grundgesamtheit.png|left|550px]] | | [[Datei:Grundgesamtheit.png|left|550px]] |
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| − | =Problemstellungen=
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| − | ==Problemstellungen==
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| − | Im Folgenden unterscheiden wir zwei Fragestellungen:
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| − | <div style="float:left;margin-right:2em;">
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | '''1)''' Bei einer Wahl erhielt die Partei A insgesamt $40,5 \%$ aller Stimmen. Nach dem Auszählen der Stimmen werden zufällig $100$ Stimmzettel ausgewählt. Auf wie vielen Stimmzetteln der Stichprobe wird die Partei A angekreuzt sein? $\qquad$ || '''2)''' Bevor die Stimmzettel einer Wahl ausgezählt werden, zieht man $100$ Stimmzettel zufällig aus den Wahlurnen. Auf $44$ Stimmzetteln ist die Partei A angekreuzt. Welchen Stimmenanteil hat diese Partei in der Gesamtheit erreicht?
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| − | |} </div>
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| − | === 1) Von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Schätzbereich: ===
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| − | Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit $p$ und der Stichprobenumfang $n$ sind bekannt. Es sei $H$ die absolute Häufigkeit der Partei-A-Wähler in der Stichprobe. Es soll ein '''$\gamma$-Schätzbereich''' ermittelt werden.
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| − | {{Vorlage:Definition|1='''$\gamma$-Schätzbereich''' <br>
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| − | Das symmetrisch um $p$ liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit $h$ mit der Wahrscheinlichkeit (Sicherheit) $\gamma$ enthält, heißt '''$\gamma$-Schätzbereich'''.
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| − | }}
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| − | Im Beispiel mit $n=100$ und $p=0.405$ soll ein $90\%$-Schätzbereich um den Erwartungswert $\mu$ ermittelt werden. Wegen $n\cdot p\cdot (1-p) > 9$ darf die [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung|Binomialverteilung]] näherungsweise durch eine [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen|Normalverteilung]] ersetzt werden.
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| − | Zunächst ermitteln wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:
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| − | $\mu=n\cdot p=100\cdot 0.405=40.5$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\approx 4.91$
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| − | Für einen $90\%$-Schätzbereich um $\mu$ gilt: <br>
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| − | $P(x_{min}\leq H \leq x_{max})=0.9$
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| − | <br>
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| − | [[Datei:Wahrscheinlichkeit1.png|left|500px|Graph der Dichtefunktion]]
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| − | Zur Ermittlung der gesuchten Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ verwenden wir nun zwei [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen|Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion]]:
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| − | 1) Die gesamte Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$, sie entspricht also $100\%$. <br>
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| − | 2) Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$.
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| − | Aus den genannten Eigenschaften folgt, dass die beiden Flächenstücke links und rechts von der blau markierten Fläche jeweils $5\%$ einnehmen.
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| − | Mithilfe von Technologieeinsatz können wir somit die beiden Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ ermitteln: <br>
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| − | $P(H\leq x_{min})=0.05 \Rightarrow \textbf{x_{min}\approx 32 }$
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| − | [[Datei:Wahrscheinlichkeit2.png|left|500px|GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner]]
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| − | Da die beiden Werte symmetrisch zum Erwartungswert liegen, muss auch deren Abstand derselbe sein. Der Abstand von $x_{min}$ zum Erwartungswert $\mu$ beträgt $\mu-x_{min}=40.5-32.42=8.08$. Daraus resultiert <br>
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| − | $\textbf{x_{max}=\mu + 8.08=48.58 \approx 49 }$
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| − | <br>
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| − | [[Datei:Wahrscheinlichkeit3.png|left|500px|GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner]]
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| − | $\textbf{Die Anzahl der in der Stichprobe für die Partei A abgegebenen Stimmen wird mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ liegen, wobei $32$ nicht unter- und $49$ nicht überschritten wird.}$
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| − | Alternativ erhält man als '''$\gamma$-Schätzbereich für die relative Häufigkeit $h$ in einer Stichprobe''' näherungsweise <br>
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| − | $h\approx\left[p-z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}; p+z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}\right] \qquad$ mit $\quad 2 \Phi(z)-1\approx \gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
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| − | <br>
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| − | $n$ … Stichprobenumfang <br>
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| − | $h$ ... unbekannte relative Häufigkeit in einer Stichprobe <br>
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| − | $p$ ... relativer Anteil in der Grundgesamtheit <br>
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| − | $\gamma$ ... Wahrscheinlichkeit <br>
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| − | <br>
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| − | Für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Schätzbereichen kann man sich merken: <br>
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| − | <div style="float:left;margin-right:2em;">
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | Zu $\gamma=0.9$ gehört $z=1.645$ || Zu $\gamma=0.95$ gehört $z=1.96$ ||| Zu $\gamma=0.99$ gehört $z=2.576$
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| − | |} </div>
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| − | $\textbf{Hinweis:}$ Bei anderen Konfidenzniveaus – welche in der Regel im Schulgebrauch nicht vorkommen – muss für die Ermittlung des Verteilungswerts $z$ die [http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm Tabelle der Standardnormalverteilung] herangezogen werden.
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| − | <br>
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| − | Auf das Beispiel angewendet erhält man somit <br>
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| − | $p\approx \left[0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right) }; 0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right)}\right]$ <br>
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| − | $h\approx[0.324; 0.486]\Rightarrow H\approx \textbf{[32; 49]}$
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| − | Eine weitere Möglichkeit zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Schätzbereichs bietet GeoGebra im CAS-Modus mit dem Befehl $\textit{GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )}:
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| − | [[Datei:Wahrscheinlichkeit4.png|left|200px|GeoGebra-GaußAnteilSchätzer]]
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| − | '''Anmerkung:''' Neben obigem Beispiel zum $\gamma$-Schätzbereich lassen sich noch zwei weitere, durchaus relevante Typen von Fragestellungen formulieren:
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| − | 1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter einer Stichprobe von $100$ zufällig ausgewählten Stimmzetteln zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler? ($n$ und Intervall gegeben, $\gamma$ gesucht)
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| − | 2) Wie viele Stimmzettel muss man zufällig auswählen, damit man mit $90 \%iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler in der Stichprobe hat? ($\gamma$ und Intervall gegeben, $n$ gesucht)
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| − | === 2) Von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Konfidenzintervall: ===
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| − | Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit ist nicht bekannt. Sie muss aus der relativen Häufigkeit der Stichprobe geschätzt werden.
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| − | {{Vorlage:Definition|1='''$\gamma$-Konfidenzintervall (Sicherheits- bzw. Vertrauensintervall)''' <br>
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| − | Die Menge aller Schätzwerte für $p$, deren zugehörige $\gamma$-Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert $h$ überdecken, heißt Konfidenzintervall mit Sicherheit $\gamma$ ($\gamma$ Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall zum Konfidenzniveau $\gamma$) für den unbekannten relativen Anteil $p$.
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| − | }}
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| − | Es soll nun ein $90\%$-Konfidenzintervall, also ein Schätzbereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ den gesuchten wahren Wert beinhaltet, für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit ermittelt werden.
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| − | <br>
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| − | Analog zum $\gamma$-Schätzbereich ist die Näherungsformel zur Bestimmung des '''$\gamma$-Konfidenzintervalls für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit''' ausreichend. Es gilt: <br>
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| − | $ p\approx \left[h-z\cdot\sqrt{\left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) }; h+z\cdot \sqrt{ \left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) } \right] \qquad $
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| − | mit $\quad 2 \Phi(z)-1\approx \gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
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| − | $n$ … Stichprobenumfang <br>
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| − | $h$ ... relative Häufigkeit in einer Stichprobe <br>
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| − | $p$ ... unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit <br>
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| − | $\gamma$ ... Konfidenzniveau (Vertrauens- bzw. Sicherheitsniveau)
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| − | <br>
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| − | Auch für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Konfidenzintervallen gilt: <br>
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| − | <div style="float:left;margin-right:2em;">
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| − | {| class="wikitable"
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| − | | Zu $\gamma=0.9$ gehört $z=1.645$ || Zu $\gamma=0.95$ gehört $z=1.96$ ||| Zu $\gamma=0.99$ gehört $z=2.576$
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| − | |} </div>
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| − | Auf das Beispiel angewendet erhält man somit mit $n=100; h=\frac{44}{100}=0.44$ und $z=1.645$ für <br>
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| − | $p\approx \left[0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}; 0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}\right]$ <br>
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| − | $\textbf{p\approx[0.358; 0.522]}$
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| − | $\textbf{In der Gesamtheit wird der Anteil der Stimmen für die Partei A mit der Wahrscheinlichkeit $0.90$ ungefähr im Intervall $[0.36;0.52]$ liegen.}$
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| − | Auch hier kann zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Konfidenzintervalls der GeoGebra-Befehl $\textit{GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )}$ verwendet werden:
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| − | [[Datei:Wahrscheinlichkeit5.png|left|200px|GeoGebra-GaußAnteilSchätzer]]
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Wichtige Eigenschaften:'''
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| − | * Je größer (höher) die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $\gamma$, desto breiter (größer) der Schätzbereich (desto ungenauer die Schätzung).
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| − | * Je größer (höher) die gewünschte Sicherheit $\gamma$, desto breiter (größer) das $\gamma$-Konfidenzintervall für $p$ (desto ungenauer die Schätzung).
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| − | * Je größer der Stichprobenumfang $n$ (bei gleichem relativen Anteil $p$), desto schmaler (kleiner) ist das Konfidenzintervall (desto genauer ist die Schätzung)
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| − | Beachte: Alle Aussagen lassen sich selbstverständlich auch umkehren. Beispielsweise gilt: Je schmaler (kleiner) das Konfidenzintervall, desto geringer ist seine Sicherheit $\gamma$.
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