Der Logarithmus (2.3.): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$)
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Der ''Logarithmus naturalis'' (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte [[Eulersche Zahl e|Eulersche Zahl]] ist.
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Der ''Logarithmus naturalis'' (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte [[Eulersche Zahl e|Eulersche Zahl]] ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$.
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$$\ln=\log_e=Ln$$
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* $\ln(0.01)=-4.61$
 
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==Rechengregeln des Logarithmus==
 
==Rechengregeln des Logarithmus==

Version vom 15. Februar 2016, 12:39 Uhr

Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.

Der Logarithmus ist der Exponent

Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:

$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$


Beispiele

  • $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
  • $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.

$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$


Berechnung mithilfe der Potenzregeln

Mithilfe der Potenzregeln lassen sich einfache Logarithmen bestimmen.

Zwei besondere Basen

Besonders zwei Basen spielen bei der Berechnung mit Technogie eine große Rolle:

$\lg$ - Logarithmus zur Basis 10

Der Logarithmus generalis (kurz $\lg$) ist der Logarithmus zur Basis 10. Im Taschenrechner ist dies die Taste $[LOG]$.$$lg=\log_{10}=[LOG]$$

  • Berechnung des Zehnerlogarithmus mit GeoGebra

  • Berechnung des Zehnerlogarithmus mit dem Ti

Beispiele:

  • $\lg(10)$   
  • $\lg(1000)=3$
  • $\lg(0.01)=-2$





$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$

Der Logarithmus naturalis (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte Eulersche Zahl ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$. $$\ln=\log_e$$


  • Berechnung des natürlichen Logarithmus mit GeoGebra

  • Berechnung des natürlichen Logarithmus mit dem Ti

Beispiele:

  • $\ln(e)=1$
  • $\ln1000)=6.91$
  • $\ln(0.01)=-4.61$








Rechengregeln des Logarithmus

Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:

Regel Formal Begründung und Beispiel
1. "Hoch 1-Regel" $$\log_a a=1$$ weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
2. "Hoch 0"-Regel $$\log_a 1=0$$ weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
3. Produktregel $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$ $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
4. Quotientenregel $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$ $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
5. Exponentenregel $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$ $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$
6. "Negativ-Regel" $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$ Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
7. Umrechnung im Taschenrechner $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$ Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:

$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$


Musterbeispiele

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Hinweis
  1. Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten.
  2. Bei den folgenden Umformen gehen wir "von außen nach innen", d.h. wir formen zuerst jene Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term im Logarithmus bezieht.


Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:

Bsp.png

$$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$

$$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$


Bsp.png

$$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$

$\begin{align} \lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c) \end{align}$


Bsp.png

$$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$

$\begin{align} \lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\ &\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\ &\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\ &\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5} \end{align}$


Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen

Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die 5. Regel von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.



Bsp.png

$$5^x=13$$ Bestimme den Wert von x!

Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen.

$$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$ $$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$ $$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$ $$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 * Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
  • Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt.
  • Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Begründung liegt in Regel 1.: $\lg(10)=\ln(e)=1$


Bsp.png

$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$ Stelle $t$ frei!

$\begin{align} N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\ \frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert \ln(\ )\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)& \vert \ln(e)=1\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t & \vert :\lambda \\ \frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t& \end{align}$


Zusammenfassung

Beispiele

kommt bald

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