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| − | [[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
| + | {{Inhalt:Extremstellen}} |
| − | $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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| − | {{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat. | + | |
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| − | '''Formale Definition''':
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| − | Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)}}
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| − | === Video ===
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| − | {{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
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| − | [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
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| − | Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
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| − | Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).
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| − | Somit erhalten wir...
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| − | === Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
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| − | !| <span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>
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| − | * $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
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| − | | $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f
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| − | *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
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| − | | $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f
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| − | *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
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| − | | $\Rightarrow\ \ \ \ $
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| − | | dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
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| − | Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
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| − | Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
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| − | {| border="0" align="center"
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| − | |$f'(x)=3x^2$
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| − | $0=3x^2$
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| − | $\rightarrow x=0$
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| − | $\ $ und $\ \ \ \ $
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| − | $f''(x)=6x$
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| − | $f''(0)=0$
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| − | Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
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| − | Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!
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| − | [[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
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| − | === Musterbeispiel ===
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$'''
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| − | |2=
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| − | '''Lösung:'''
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| − | Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
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| − | $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
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| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
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| − | $$f''(x)=2x-8$$
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| − | Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
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| − | $$0=x^2-8x+7$$
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| − | $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$
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| − | $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
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| − | $$x_1=1$$
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| − | $$x_2=7$$
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| − | [[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]
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| − | Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
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| − | $f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt
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| − | $f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
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| − | Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.
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| − | Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
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| − | $f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1\vert 33.33)$
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| − | $f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7\vert -2.67)$
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| − | [[Kategorie: Differenzieren]]
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