Lineare Optimierung: Unterschied zwischen den Versionen
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== Musterbeispiel == | == Musterbeispiel == | ||
| − | Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€. | + | '''Angabe''' |
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| + | |Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€. | ||
| + | a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen. | ||
| + | b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll. | ||
| + | c)Löse das System und interpretieren Sie die Lösung. | ||
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| + | '''Lösung''' | ||
| − | a) | + | a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen. |
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Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke. | Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke. | ||
| − | Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen | + | <br> |
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| + | |"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''" | ||
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$$ I:x<=70$$ | $$ I:x<=70$$ | ||
$$II: y<=100 $$ | $$II: y<=100 $$ | ||
| − | allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück | + | {| align="center" border="1" |
| + | |"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''" | ||
| + | |} | ||
$$ III: x+y<=140 \rightarrow y<=-x+140 $$ | $$ III: x+y<=140 \rightarrow y<=-x+140 $$ | ||
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x>=0 \textrm{ und } y>=0$$ | Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x>=0 \textrm{ und } y>=0$$ | ||
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| − | b) | + | <br> |
| + | b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll. | ||
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €. | Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €. | ||
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €. | Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €. | ||
Somit lautet die Zielfunktion die den Gewinn angibt: | Somit lautet die Zielfunktion die den Gewinn angibt: | ||
| − | $\begin{ | + | $\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\ |
&\rightarrow \end{align}$ | &\rightarrow \end{align}$ | ||
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| − | + | c)Löse das System und interpretieren Sie die Lösung. | |
| + | #Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld: | ||
Bild mit Planungsfeld | Bild mit Planungsfeld | ||
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| − | + | #Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt. | |
| − | + | <br> | |
| + | #Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $II: y=-x+140$ schneiden: | ||
$$I: x=70$$ | $$I: x=70$$ | ||
$$III: y=-x+140$$ | $$III: y=-x+140$$ | ||
Version vom 10. November 2013, 17:44 Uhr
Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
Methode (zusammengefasst)
- Zuerst werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die Nichtnegativitätsbedingungen
- Das Planungsfeld wird erstellt, indem die Ungleichungen gezeichnet werden
- Die Zielfunktion wird aufgestellt, in das Planungsfeld gezeichnet und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel verschoben.
- Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
- a) die Koordinaten abliest
- b) den Schnittpunkt der beiden Geraden, die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.
Video
Musterbeispiel
Angabe
| Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen. b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll. c)Löse das System und interpretieren Sie die Lösung. |
Lösung
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
| "Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen" |
$$ I:x<=70$$ $$II: y<=100 $$
| "allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück" |
$$ III: x+y<=140 \rightarrow y<=-x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x>=0 \textrm{ und } y>=0$$
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
Somit lautet die Zielfunktion die den Gewinn angibt:
$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow \end{align}$
c)Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.
- Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:
Bild mit Planungsfeld
- Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.
- Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $II: y=-x+140$ schneiden:
$$I: x=70$$ $$III: y=-x+140$$ Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen. $$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$ Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$ 4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zilfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen: $$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$ 5. Schritt: Antwortsatz Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.
