Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen): Unterschied zwischen den Versionen
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Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt: | Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt: | ||
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A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren. | A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren. | ||
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B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren. | B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren. | ||
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<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist. | <span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist. | ||
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$r=1+\frac{2}{100}=1.02$ | $r=1+\frac{2}{100}=1.02$ | ||
A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$ | A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$ | ||
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| − | Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser. | + | B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$ |
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| + | '''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser. | ||
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$r=1+\frac{4}{100}=1.04$ | $r=1+\frac{4}{100}=1.04$ | ||
A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$ | A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$ | ||
| − | B: $40000 | + | |
| − | Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser. | + | B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$ |
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| + | '''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser. | ||
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<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig? | <span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig? | ||
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Hier muss Berechnet werden, wann ist | Hier muss Berechnet werden, wann ist | ||
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$ | $$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$ | ||
| − | $$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000 | + | $$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$ |
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Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ). | Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ). | ||
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Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%. | Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%. | ||
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Version vom 10. Februar 2014, 20:48 Uhr
Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.
| Definition | Das Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:
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Musterbeispiel
Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:
- Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
- Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.
Frage: Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann?
Antwort: Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
- Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
- Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)
Der Aufzinungsfaktor r beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )
Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:
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| In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser! |
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| Merke | Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt! |
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Maturabeispiele
Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:
A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.
B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.
a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist.
$r=1+\frac{2}{100}=1.02$
A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$
B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$
Antwort: Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.
b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:
$r=1+\frac{4}{100}=1.04$
A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$
B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$
Antwort: Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.
c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
Lösung:
Hier muss Berechnet werden, wann ist $$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$ $$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$
Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem Solve-Befehl, wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).
Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.
Antwort: Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
