Kurvendiskussionen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte) |
(→Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum) |
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Version vom 9. Februar 2014, 17:00 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Überblick und Einleitung
Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
- Nullstellen
- Extremwerte
- Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)
Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | |
|---|---|---|---|
| Gibt an ... | den Funktionswert an der Stelle x | die Steigung von f an der Stelle x | die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung) |
| physikalische Interpretation | Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder Höhe eines Objektes etc. |
momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x | Beschleunigung an der Stelle x |
| wenn $>0$ | Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse | $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend. | $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu. |
| wenn $<0$ | Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse | $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab. | $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab. |
| wenn $=0$ | Nullstelle | Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum. | Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.
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Nullstellen
Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte
| Definition: | Lokale Extremstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
Formale Definition: Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt) |
Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt steigt f nicht und fällt f nicht). Somit gilt $f'(x)=0$ Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt rechtsgekrümmt (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt linksgekrümmt (d.h. $f''(x)>0$).
Somit erhalten wir...
Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum
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Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
=== Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$===
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
| $f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$ $\rightarrow x=0$ |
$\ $ und $\ \ \ \ $ |
$f''(x)=6x$ $f''(0)=0$ |
Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum sind also wichtig!
