Direkte und indirekte Proportionalität: Unterschied zwischen den Versionen
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== Wichtige Eigenschaften == | == Wichtige Eigenschaften == | ||
| − | * Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y. | + | * Wird $x$ verdoppelt, so verdoppelt sich auch $y$. |
| − | * Wird x halbiert, so halbiert sich auch y. | + | * Wird $x$ halbiert, so halbiert sich auch $y$. |
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg (330 km) werden 29 | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg ($330 km$) werden $29.4$ Liter Benzin verbraucht. |
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* Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht. | * Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht. | ||
| − | * Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind? | + | * Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien ($640 km$) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind? |
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* Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt. | * Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt. | ||
| − | * Für 100 km, benötigt das Fahrzeug $x=29 | + | * Für $100 km$, benötigt das Fahrzeug $x=29.4\cdot \frac{100}{330}= 8.9 Liter$ |
| − | <br /> Für 640 km benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29 | + | <br /> Für $640 km$ benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29.4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$ |
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== Wichtige Eigenschaften == | == Wichtige Eigenschaften == | ||
| − | * Wird x verdoppelt, so halbiert sich y. | + | * Wird $x$ verdoppelt, so halbiert sich $y$. |
| − | * Wird x halbiert, so verdoppelt sich y. | + | * Wird $x$ halbiert, so verdoppelt sich $y$. |
| − | * Multipliziert man die Werte x und y so ergibt sich immer der gleiche Wert c. | + | * Multipliziert man die Werte $x$ und $y$ so ergibt sich immer der gleiche Wert $c$. |
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==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= 4 Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür 5 Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt 10 Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet. | + | {{Vorlage:Beispiel|1= $4$ Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür $5$ Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt $10$ Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet. |
| − | * Begründe, warum hier eine indirekte Proportion vorliegt | + | * Begründe, warum hier eine indirekte Proportion vorliegt. |
| − | *Berechne, wie lange die 10 Arbeiter für die Arbeit benötigen | + | * Berechne, wie lange die $10$ Arbeiter für die Arbeit benötigen. |2= Lösung |
* Wenn für die Erledigung der Arbeit doppelt so viele Maurer zur Verfügung stehen, benötigen die Maurer die halbe Zeit. | * Wenn für die Erledigung der Arbeit doppelt so viele Maurer zur Verfügung stehen, benötigen die Maurer die halbe Zeit. | ||
| − | * 4 Maurer benötigen 5 Tage, also benötigt 1 Maurer $4 \cdot 5=20$ Tage. 10 Maurer brauchen dann $20 : 10 =2$ Tage für diese Arbeit. }} | + | * $4$ Maurer benötigen $5$ Tage, also benötigt $1$ Maurer $4 \cdot 5=20$ Tage. $10$ Maurer brauchen dann $20 : 10 =2$ Tage für diese Arbeit. }} |
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Ein Vorrat an Heizöl reicht 12 Stunden, wenn der Verbrauch 0 | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Ein Vorrat an Heizöl reicht $12$ Stunden, wenn der Verbrauch $0.65$ Liter pro Stunde beträgt. |
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| − | Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur 0 | + | Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur $0.2 l$ pro Stunde verbraucht. |
|2= Lösung | |2= Lösung | ||
| − | Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von 0 | + | Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von $0.65 l/h$ $12$ Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0.65=7.8$ Liter Öl im Tank. |
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| − | Wenn der Ofen auf 0 | + | Wenn der Ofen auf $0.2 l/h$ gedrosselt wird, hält der Tank $7.8:0.2=39$ Stunden lang. |
| − | Der Ofen kann also 27 Stunden länger in Betrieb bleiben. | + | Der Ofen kann also $27$ Stunden länger in Betrieb bleiben. |
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* [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer) | * [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer) | ||
Version vom 13. Januar 2019, 12:36 Uhr
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Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen lineare Funktion der Form $y=k\cdot x$ mit $k \ \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird $x$ verdoppelt, so verdoppelt sich auch $y$.
- Wird $x$ halbiert, so halbiert sich auch $y$.
Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg ($330 km$) werden $29.4$ Liter Benzin verbraucht.
- Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
- Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien ($640 km$) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
Lösung
- Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
- Für $100 km$, benötigt das Fahrzeug $x=29.4\cdot \frac{100}{330}= 8.9 Liter$
Für $640 km$ benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29.4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$
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Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{x}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird $x$ verdoppelt, so halbiert sich $y$.
- Wird $x$ halbiert, so verdoppelt sich $y$.
- Multipliziert man die Werte $x$ und $y$ so ergibt sich immer der gleiche Wert $c$.
Beispiele
$4$ Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür $5$ Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt $10$ Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet.
- Begründe, warum hier eine indirekte Proportion vorliegt.
- Berechne, wie lange die $10$ Arbeiter für die Arbeit benötigen.
Lösung
- Wenn für die Erledigung der Arbeit doppelt so viele Maurer zur Verfügung stehen, benötigen die Maurer die halbe Zeit.
- $4$ Maurer benötigen $5$ Tage, also benötigt $1$ Maurer $4 \cdot 5=20$ Tage. $10$ Maurer brauchen dann $20 : 10 =2$ Tage für diese Arbeit.
Ein Vorrat an Heizöl reicht $12$ Stunden, wenn der Verbrauch $0.65$ Liter pro Stunde beträgt.
Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur $0.2 l$ pro Stunde verbraucht.
Lösung
Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von $0.65 l/h$ $12$ Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0.65=7.8$ Liter Öl im Tank.
Wenn der Ofen auf $0.2 l/h$ gedrosselt wird, hält der Tank $7.8:0.2=39$ Stunden lang.
Der Ofen kann also $27$ Stunden länger in Betrieb bleiben.
- Beleuchtungsstärke (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer)
- Siehe auch: Differenzen- und Differentialquotient
