Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

[+/-]

Widgets

Widgets

Gewünschte Seiten
  • Keine Informationen verfügbar
Wer ist online?
  • Es ist niemand angemeldet.
Aus Matura Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Der Differentialquotient (= momentane Steigung))
(→‎Beispiele)
Zeile 64: Zeile 64:
 
</div>
 
</div>
 
|}
 
|}
 +
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
  
 
=== Beispiele ===
 
=== Beispiele ===
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
  
 
== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
 
== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==

Version vom 2. Januar 2014, 14:32 Uhr

Was lernst du hier

  • Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante.
  • Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente.


Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)

Definition

Definition: Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:

$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet.

Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an.

Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante s.

Bemerkungen:

  • $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
  • Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
  • Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$







Video-Erklärung

Video zum Differenzenquotienten
Hinweise zum Video:
  • Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
  • WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!

$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$

Aufgaben

  1. Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle 3:23min eine quadratische Regression, um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
  2. Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
  3. Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.

Lösungen

Tabelle
  1. $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
  2. $20=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
  3. Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)







Beispiele





Der Differentialquotient (= momentane Steigung)

Definition

Definition: Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x

$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ wird als Differentialquotient bezeichnet.

Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x)$ an.

Der Differentialquotinet berechnet die Steigung der Tangente t.

Bemerkungen:

  • Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der rechten Abbildung erkennst du, dass dadurch die Sekante zur Tangente wird.

Hier ein animiertes gif!!

Video-Erklärung

Musterbeispiele

Berechnung der 1. Ableitung mithilfe von Rechenregeln

Von „https://3.vobs.at/maturawiki/index.php?title=Differenzen-_und_Differentialquotient&oldid=486“