Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen
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| Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$: | | Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$: | ||
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ | $$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$ | ||
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet. | wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet. | ||
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| + | Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an. | ||
| + | | [[Datei:Diffquotient.png]] | ||
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Version vom 2. Januar 2014, 12:21 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Was lernst du hier
- Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante.
- Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente.
Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)
| Definition: | Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als Differenzenquotient bezeichnet.
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Bemerkungen:
- $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
- Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
- Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
| Video zum Differenzenquotienten |
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Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |
Aufgaben
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Lösungen
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