Zins- und Zinseszinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$ | # $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$ | ||
| − | # $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$ | + | # $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$ |
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$ | # $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$ | ||
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| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird | | Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird | ||
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| + | <span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde? | ||
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| + | :* $K_0=800$ | ||
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| + | $$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ | ||
| + | $$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$ | ||
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| + | * $K_0$ gefragt | ||
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| + | <span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde? | ||
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| + | :* $K_0=$? | ||
| + | :* $n=3$ | ||
| + | :* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$ | ||
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| + | $$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ | ||
| + | $$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$ | ||
| + | $$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$ | ||
| + | $$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$ | ||
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| + | * $n$ gefragt | ||
| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde? | ||
| + | ''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]'' | ||
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| + | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| + | :* $K_0=100$ | ||
| + | :* $n=?$ | ||
| + | :* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$ | ||
| + | :* $K_n=200$ | ||
| + | <br> | ||
| + | $$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ | ||
| + | $$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$ | ||
| + | $$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$ | ||
| + | $$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$ | ||
| + | $$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$ | ||
| + | $$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$ | ||
| + | Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden. | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | * $i$ gefragt | ||
| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst. | ||
| + | </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| + | :* $K_0=100? | ||
| + | :* $n=7$ | ||
| + | :* $i=?\%$ | ||
| + | :* $K_7=118.87$ | ||
| + | <br> | ||
| + | $$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ | ||
| + | $$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{und} \sqrt[7]{} $$ | ||
| + | $$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$ | ||
| + | $$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$ | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
=== Aufzinsungsfaktor === | === Aufzinsungsfaktor === | ||
Version vom 1. Januar 2014, 15:04 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Warum gibt es Zinsen?
Begriffe
- $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
- $n \dots $ Dauer der Verzinsung
- $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
- $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
- $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
- $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
Einfache Zinsen
Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
|
Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung
| Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit. |
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:
- $K_0 =30 $
- $n = 1 $
- $K_1 = $?
- $i_{eff} = 5$%
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
| Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. |
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung
- $K_0=30$
- $K_n=$ ?
- $i_{eff}=5$%
- $n=4$
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
| Formel für die einfache Verzinsung |
|---|
| Sei n die Veranlagungsdauer in Jahren, dann gilt: |
| $$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$ |
Musterbeispiel für die einfache Verzinsung
Aufgabe: Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
Rechenweg
- $K_0=75$
- $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
- $K_\frac{4}{12}=$?
- $i=4$%
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
Lösung: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
Zinseszinsen
Zinseszinsformel
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt. Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten Zinseszinsen.
| Video: Herleitung der Zineszinsformel |
|---|
Formale Herleitung
- $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
- $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
- $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
| Formel für die einfache Verzinsung |
|---|
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt: |
| $$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ |
| Merke: | Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über mehrere volle Jahre verzinst wird |
Musterbeispiele
- $K_n$ gefragt
Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
- $K_0=800$
- $n=2$
- $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
- $K_2=$?
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
- $K_0$ gefragt
Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
- $K_0=$?
- $n=3$
- $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
- $K_3=1500$
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
- $n$ gefragt
Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde? Siehe hier auch Verdoppelungszeit
- $K_0=100$
- $n=?$
- $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
- $K_n=200$
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
- $i$ gefragt
Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
- $K_0=100? :* $n=7$ :* $i=?\%$ :* $K_7=118.87$
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{und} \sqrt[7]{} $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
