Version vom 31. August 2015, 08:09 Uhr

Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel

Um "das Mittel" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:

Arithmetisches Mittel $\bar{x}$

Definition

Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen. Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.

Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Definition

Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$

$Aha!$ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) lernen.

Das gewichtete arithmetische Mittel

Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "gewichtete arithmetische Mittel" verwendet werden:

Merke

Formel mit der absoluten Häufigkeit $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:

Gegeben sind die folgenden Schulnoten: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle

Merke

Formel mit der relativen Häufigkeit $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$ Wichtig: Eine fast identische Formel wird später wieder für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable verwendet!

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:

Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:

Welche Formel verwende ich für $\bar{x}$?

Ist Folgendes gegeben ... ... verwende ich diese Formel absolute Häufigkeiten $H_i$ $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ relative Häufigkeiten $h_i$ $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ weder $H_i$ noch $h_i$ $$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...

Median $\tilde{x}$

Definition

Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte. Formal: $\begin{align} &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\ &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n+1}{2} } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\ \end{align}$

Beispiel für den Median: Gegeben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $\tilde{x}$.

Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:

Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$

Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels

Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?

Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.

Merke

Allgemein gilt: Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ kann durch einzelne Ausreißer stark beeinflusst werden. Der Median $\tilde{x}$ wird davon in der Regel nicht beeinflusst. Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind

$Aha!$ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).

Modus/Modalwert

Definition

Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d.h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit. Beispiel: Gegeben ist die Datenreihe {1;2;2;2;5}. Dann ist der Modus=2, da 2 mit einer absoluten Häufigkeit von H=3 erscheint.

Geometrisches Mittel

Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen "durchschnittlichen [Faktor]" zu ermitteln. So kann damit bespielsweise der durchschnittliche Wachstumsfaktor oder die durchschnittliche Verzinsung berechnet werden.

Definition

Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist $$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$ der durchschnittliche Wachstumsfaktor. Das Geometrische Mittel $\bar{x}_{geo}$ ist die n-te Wurtel aller n Faktoren.