Statistik:Zentralmaße: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 31. August 2015, 07:25 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel
Um "das Mittel" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
Arithmetisches Mittel $\bar{x}$
Definition
Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen. Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.
Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
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Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$ |
$Aha!$ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) lernen.
Das gewichtete arithmetische Mittel
Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "gewichtete arithmetische Mittel" verwendet werden:
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Formel mit der absoluten Häufigkeit
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$ |
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:
Gegeben sind die folgenden Schulnoten: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
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Formel mit der relativen Häufigkeit
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$
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Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:
Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
$$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
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Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...
Median $\tilde{x}$
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Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste
Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte.
Formal: $\begin{align} &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\ &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n+1}{2} } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\ \end{align}$ |
Beispiel für den Median: Gegeben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $\tilde{x}$.
Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
| durch Ablesen | $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$ |
| rechnerisch | $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$ |
Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$
Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels
Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?
Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
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Allgemein gilt:
Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind |
$Aha!$ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).
Aufgaben zum Arbeitsblatt
- Setze "Zahl der Datenwerte" auf 5.
- Schiebe nun 4 Werte auf "1" und einen auf "4". Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
- Verteile anschließend alle 5 Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
- Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
Lösungen:
1. Der Median ist der mittlere Wert aller 5 Werte und bleibt deshalb bei 1. Mittelwert dagegen liegt zwischen 1 und 4.
2. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der MItte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
Hinweis: Ein etwas komplexeres Arbeitsblatt findest du hier
Modus/Modalwert
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Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d.h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit.
Dann ist der Modus=2, da 2 mit einer absoluten Häufigkeit von H=3 erscheint. |
Geometrisches Mittel
kommt bald
