Beschreibende Statistik: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. April 2015, 14:50 Uhr

$Step\ by\ Step!$ Lernpfad beschreibende Statistik

In der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit der Auswertung von Datenmengen. Die Auswertung erfolgt dabei über graphische Darstellungsformen (Diagramme) und einzelne aussagekräftige Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Spannweite, ...) mit denen Rückschlüsse auf Grundgesamtheit aller Daten bezogen werden können.

Begriffe

$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1;1; ;5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)

$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt

Arten von Merkmalen/Daten

Im groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:

• nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
• ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
• metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".

Absolute und relative Häufigkeit

Definition

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt. z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\} $ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...

Definition

Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt: $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$

Diagramme

Stab- und Balken-/Säulendiagramme

Kreisdiagramm

Boxplot (Kastenschaubild)

Schummeln mit Statistik

Rest folgt noch

Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel

Um "das Mittel" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:

arithmetisches Mittel $\bar{x}$

Definition

Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen. Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.

Z.B.: Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $ $$\rightarrow \bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Definition

Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$ Formal: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln verwendet werden:

Merke

Formel für die absolute Häufigkeit $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i \ \ \ \ \ \textrm{wobei }a_i\textrm{ die vorkommenden Werte bezeichnet}$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$

Beispiel: Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst

Merke

Formel für die relative Häufigkeit $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i \ \ \ \ \ \textrm{wobei }a_i\textrm{ die vorkommenden Werte bezeichnet}$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$ Wichtig: Diese Formel wird später wieder für den Erwartungswert

3 Definitionen

Nachteil

Nachteil des arithm. Mittel

Median

Def für eine gerade Anzahl für eine ungerade Anzahl

Vorteil gegebnüger dem arithm. Mittel

Modus

statistische Kennzahlen für die Streuung

Spannweite

Varianz und Standardabweichung

Quartile

Regression

$\rightarrow$ siehe Regression