Lineare Optimierung: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt3.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]] | [[Datei:Planungsfeld u Zielfkt3.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]] | ||
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$$I: x=70$$ | $$I: x=70$$ | ||
$$III: y=-x+140$$ | $$III: y=-x+140$$ | ||
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Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$ | Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$ | ||
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$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$ | $$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$ | ||
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Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt. | Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt. | ||
Version vom 11. November 2013, 18:33 Uhr
Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
Methode (zusammengefasst)
- Zuerst werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die Nichtnegativitätsbedingungen
- Das Planungsfeld wird erstellt, indem die Ungleichungen gezeichnet werden
- Die Zielfunktion wird aufgestellt, in das Planungsfeld gezeichnet und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel verschoben.
- Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
- a) die Koordinaten abliest
- b) den Schnittpunkt der beiden Geraden, die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.
Video
Musterbeispiel
Angabe
| Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
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Lösung
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
| "Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen" |
$$ I:x<=70$$ $$II: y<=100 $$
| "allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück" |
$$ III: x+y<=140 \rightarrow y<=-x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x>=0 \textrm{ und } y>=0$$
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
| "Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€." |
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:
$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+Z \end{align}$
c) Löse das System und interpretiere die Lösung.
1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:
$\begin{align} I:&x<=70&\\
II:&y<=100&\\
III: &x+y<=140& \rightarrow y<=-x+140 \\
IV:& x>=0&\\
V: &y>=0& \end{align}$
2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:
$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.
