Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen
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a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0) | a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0) | ||
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| + | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt. | ||
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Version vom 3. Oktober 2014, 12:10 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Erklärung
s(t) gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)
v(t) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).
a(t) gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)
Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:
Aufgaben
Beispiel 1:
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s². Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s². Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.
a)Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$
Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$
b) Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$
c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$
Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$
Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.
d) Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.
Beispiel 2
Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2. Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.
a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)
Tipp zur Berechnung:
