Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 10. Juli 2014, 14:15 Uhr
In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
Inhaltsverzeichnis
Das rechtwinklige Dreieck
Begriffe
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
- die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
- die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.
Sinus, Cosinus und Tangens
| Definition |
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Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!
Hier noch Aufgaben
Steigung und Steigungswinkel
Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:
| $$k=\tan \alpha$$ |
Musterbeispiel
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
- Bestimmen Sie
- a) den Steigungswinkel
- b) die prozentuelle Steigung
Lösung
a) Berechnung des Steigungswinkels:
$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$
$\alpha = 8.05°$
b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.
Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit 1 cm. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
1) Gradmaß (abgekürzt mit °)
So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
- Eine volle Umdrehung hat 360°
- Eine halbe Umdrehung hat 180°
2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)
Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.
- Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
- Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
| Merke: |
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Musterbeispiel
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
Lösung
a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \\matbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis
Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion
Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck
| rechtwinkliges Dreieck | allgemeines Dreieck | |
| Winkelsumme | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ |
| Pythagoras | $H^2=GK^2+AK^2$ | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck! |
| Flächeninhalt | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$ |
| Sinussatz | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$ | |
| Cosinussatz | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$ $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$ |
Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck
Beispiele
- Leuchtturm (bifie-Aufgabe)
- Standseilbahn (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- Glaspyramiede des Louvre (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
- Hochwasserschutz (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
- Siehe auch Formeln aufstellen
- Gletschermarathon (bifie-Aufgabe: mittel)
- Geschwindigkeitskontrolle (bifie-Aufgabe: leicht)
- Wetterballon (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
- Siehe auch Lineare Funktionen
- Wasserverbrauch (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
- Die Sonne (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
- Siehe auch: Logarithmus
- Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
- Siehe auch
- * Beschreibende Statistik
- * Exponentielle Abnahme
- Windkraftanlage (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
- Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
- Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
