Extremstellen: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 1. Januar 2016, 17:37 Uhr
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Lokale Extremstellen sind jene Stellen ($=x$-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
Formale Definition: Eine Funktion $f$ hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (Analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt.) |
Inhaltsverzeichnis
Video
Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer $0$ (d. h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt steigt $f$ nicht und fällt $f$ nicht). Somit gilt $f'(x)=0$.
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt rechtsgekrümmt (d. h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt linksgekrümmt (d. h. $f''(x)>0$).
Somit erhalten wir...
Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum
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Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
| $f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$ $\rightarrow x=0$ |
$\ $ und $\ \ \ \ $ |
$f''(x)=6x$ $f''(0)=0$ |
Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$. Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt).
Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig.
Musterbeispiel
Bestimme die Extrema der Funktion $\ f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$.
Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$
Nun setzen wir die 1. Ableitung $0$ (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt $0$ ist): $$0=x^2-8x+7$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$ $$x_1=1$$ $$x_2=7$$
Somit haben wir $2$ mögliche Extremstellen gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt
$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet. Zuletzt bestimmen wir nun noch die $y$-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die $x$-Werte in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein:
$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1\vert 33.33)$
$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7\vert -2.67)$
Interaktive Übungen
Quiz: Extremstellen von Funktionen (FA 1.5 und AN 3.3)
