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| − | In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
| + | #WEITERLEITUNG[[Trigonometrie]] |
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| − | == Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==
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| − | === Begriffe ===
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| − | [[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]
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| − | Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der '''Hypotenuse''' (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
| + | |
| − | * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
| + | |
| − | * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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| − | <br>
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| − | === Sinus, Cosinus und Tangens ===
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| − | {| border ="1"
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| − | | '''Definition'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0">
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| − | | + | |
| − | {|
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| − | |* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
| + | |
| − | |$sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
| + | |
| − | |$cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
| + | |
| − | |$tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </p>
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| − | Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
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| − | :[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].
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| − | '''Wichtig!'''
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| − | Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
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| − | Hier noch Aufgaben
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| − | === Steigung und Steigungswinkel ===
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| − | [[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
| + | |
| − | Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
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| − | $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
| + | |
| − | Somit erhalten wir die Formel:
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| − | | + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | | $$k=\tan \alpha$$
| + | |
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| + | |
| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>
| + | |
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
| + | |
| − | - Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
| + | |
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| − | - Bestimmen Sie
| + | |
| − | * a) den Steigungswinkel
| + | |
| − | * b) die prozentuelle Steigung
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| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
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| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
| + | |
| − | a) Berechnung des Steigungswinkels:
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| − | $\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]
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| − | $\alpha = 8.05°$
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
| + | |
| − | $$k=\ tan\ \alpha$$
| + | |
| − | $$k=\tan \ 8.05°$$
| + | |
| − | $$k=0.14=14 \ \%$$
| + | |
| − | A: Die Steigung beträgt 14 %.
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| − | </div>
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| − | </div>
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| − | == Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
| + | |
| − | === Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1 cm. Sein Umfang beträgt
| + | |
| − | $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
| + | |
| − |
| + | |
| − | Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''
| + | |
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| − | So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Eine volle Umdrehung hat 360°
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung hat 180°
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
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| − | | + | |
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| − | {| align="center"
| + | |
| − | [http://www.geogebratube.org/student/m133394 Hier findest du ein Arbeitsblatt], das dir den Zusammenhang besser erklärt.
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| − | {| border="1"
| + | |
| − | |'''Merke:'''
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| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
| + | |
| − | | + | |
| − | a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | a) Grad- in Bogenmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Bogen- in Gradmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
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| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
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| − | <br>
| + | |
| − | <br>
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| − | | + | |
| − | === Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ====Theorie====
| + | |
| − | Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Dabei gilt:
| + | |
| − | * Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]].
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Sinus:'''
| + | |
| − | Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die $\color{\textrm{rote Strecke}}{GK}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete $\color{red}{GK}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | Zu zeigen ist nun:
| + | |
| − | $$\sin \ \alpha=\color{red}{GK}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Beweis:'''
| + | |
| − | $$\sin\ \alpha=\frac{\color{red}{GK}}{H}=\frac{\color{red}{GK}}{1}=\color{red}{GK}$$
| + | |
| − | $$\sin\ \alpha=\color{red}{GK}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.
| + | |
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| + | |
| − | <br>
| + | |
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| + | |
| − | | + | |
| − | ====Wichtige Werte====
| + | |
| − | Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:
| + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | Sinus
| + | |
| − | | Cosinus
| + | |
| − | | Tangens
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Gradmaß: 90°
| + | |
| − | Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| + | |
| − | | 1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | nicht definiert
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 180°
| + | |
| − | $\pi$ rad
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | -1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 270°
| + | |
| − | $\frac{3\pi}{2}$ rad
| + | |
| − | | -1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | nicht definiert
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 0° und 360°
| + | |
| − | 0 rad und $2\pi$ rad
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | 1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | == Trigonometrische Funktionen ==
| + | |
| − | | + | |
| − | === Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===
| + | |
| − | Stellt man nun den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | | <p style="background-color:#8EE5EE"> Erklärung:
| + | |
| − | </p>
| + | |
| − | | In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die Graphen kommt.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
| + | |
| − | Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
| + | |
| − | Der graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | # Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
| + | |
| − | # Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
| + | |
| − | # Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
| + | |
| − | # Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | == Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
| + | |
| − | [[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]
| + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | rechtwinkliges Dreieck
| + | |
| − | | allgemeines Dreieck
| + | |
| − | | + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Winkelsumme
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Pythagoras
| + | |
| − | | $H^2=GK^2+AK^2$
| + | |
| − | | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Flächeninhalt
| + | |
| − | | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| + | |
| − | | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
| + | |
| − | $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$
| + | |
| − | | + | |
| − | $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | == Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck ==
| + | |
| − | | + | |
| − | == Beispiele ==
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
| + | |
| − | : Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch [[Lineare Funktionen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
| + | |
| − | : Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch
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| − | : * [[Beschreibende Statistik]]
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| − | : * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
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| − | : '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]
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