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| − | Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
| + | #WEITERLEITUNG[[Exponentialfunktionen]] |
| − | [[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]
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| − | {| border ="1"
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
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| − | $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
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| − | oder
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| − | $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
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| − | </p>
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| − | '''Hinweise'''
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| − | * In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
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| − | * Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
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| − | * $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
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| − | * $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
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| − | == Graph der Exponentialfunktion ==
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| − | Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:
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| − | {| border=“0“
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| − | |'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
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| − | Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
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| − | $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
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| − | (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
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| − | | [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
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| − | {| border="0"
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| − | | '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| − | | für $a>1$ oder $\lambda>0$
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| − | ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
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| − | |[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
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| − | |für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
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| − | |ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
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| − | | [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
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| − | Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)
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| − | == Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==
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| − | * Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
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| − | * Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
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| − | * Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
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| − | Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
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| − | {| align="center"
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| − | | [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
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| − | | [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
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| − | == Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
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| − | Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
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| − | === 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===
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| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.
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| − | '''Lösung:''' </span>
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| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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| − | {|
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| − | {| border="1"
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| − | !|x
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| − | !|y
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| − | |0
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| − | |3
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| − | |-
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| − | |2
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| − | | $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
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| − | $\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)
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| − | $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$
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| − | Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
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| − | === 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===
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| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.
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| − | '''Lösung:''' </span>
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| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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| − | {|
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| − | |-
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| − | {| border="1"
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| − | !|x
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| − | !|y
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| − | |-
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| − | |1
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| − | |4
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| − | |-
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| − | |16
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| − | !| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
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| − | $\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$
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| − | $\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$
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| − | |}
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| − | Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
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| − | Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
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| − | $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
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| − | und setzen dies nun in II ein:
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| − | | + | |
| − | $II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
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| − | $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
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| − | $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
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| − | $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
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| − | $$II: \ b^2=1 $$
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| − | $$II: \ b=\pm 1$$
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| − | Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
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| − | Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
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| − | Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
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| − | === 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===
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| − | Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>
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| − | '''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
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| − | '''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
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| − | $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
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| − | $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
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| − | Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
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| − | $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
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| − | $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
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| − | $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
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| − | $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
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| − | $$\underline{1.1=\lambda}$$
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| − | Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
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| − | === 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
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| − | Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
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| − | * a) $f(x)=0.3$
| + | |
| − | * b) $f(x)=0$
| + | |
| − | * c) $f(x)=-0.5$
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]
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| − | Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
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| − | $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
| + | |
| − | $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
| + | |
| − | $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
| + | |
| − | $$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
| + | |
| − | $$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
| + | |
| − | Alternative Lösungswege:
| + | |
| − | * Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
| + | |
| − | * [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]
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| − | </div>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
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| − | Alternativer Lösungsweg:
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| − | * [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
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| − | * Rechnerisch:
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| − | $$ f(x)=0$$
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| − | $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
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| − | $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
| + | |
| − | $$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
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| − | Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
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| − | Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.
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| − | </div>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
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| − | (Siehe Abbildung bei Lösung a) )
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| − | | + | |
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| − | </div>
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| − | | + | |
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| − | [[Kategorie: Funktionen]]
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