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Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken: | Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken: | ||
| − | # Bei linearen Gleichungen 0= | + | # Bei linearen Gleichungen $0=k\cdot x+d$: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| nach $x$ umformen]]. |
| − | # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große | + | # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungsformel/Quadkom]] |
| − | # Bei Gleichungen mit | + | # Bei Gleichungen mit Grad $\ge 3$: [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]] |
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$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ | $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ | ||
| − | Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 | + | Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit $a=-1$, $b=6$ und $c=-5$ |
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$ | $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$ | ||
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]] | [[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]] | ||
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$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ | $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ | ||
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ | $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ | ||
| − | '''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse. | + | '''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die $x$-Achse. |
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Aktuelle Version vom 23. Januar 2021, 13:45 Uhr
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Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).
Formale Definition: Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ |
Video
Berechnung der Nullstellen
Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach Funktionstyp von $f(x)$ kann entweder $x$ einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren (große Lösungformel/Quadkom, graphisches Lösungsverfahren im TR, Solve-Befehl) verwendet werden.
Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:
- Bei linearen Gleichungen $0=k\cdot x+d$: nach $x$ umformen.
- Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: große Lösungsformel/Quadkom
- Bei Gleichungen mit Grad $\ge 3$: graphisches Lösungsverfahren im TR
Musterbeispiele
a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$
b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
Lösung: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit $a=-1$, $b=6$ und $c=-5$ $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die $x$-Achse.
c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben).
Lösung mithilfe des graphisches Lösungsverfahren im TR oder dem Löse-Verfahren (GeoGebra) $x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
