Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

• $\Delta$ (= Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für „Unterschied“. $\Delta x$ ist der Unterschied auf der $x$-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der $y$-Achse.
• Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht, ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
• Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (= Ergebnis einer Division) zweier Differenzen (= Ergebnis einer Subtraktion) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$

• $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten

Zuerst machen wir eine Wertetabelle :

Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$

b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4\vert -1.6)$ und $(8\vert 3.2)$.

Der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten an.

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an.

$$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$ A: Nach $5$ Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von $2.5 m$ zurückgelegt.

b) $s(t)=8.1 m$ und gesucht ist das passende $t$: $$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$8.1=0.1\cdot t^2$$ $$81=t^2$$ $$\pm 9=t$$ A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit), hat das Fahrzeug nach $9 s$ eine Distanz von $8.1 m$ erreicht.

Graph von $s(t)$ samt der Sekante durch die beiden Punkte aus a) und b).

c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall $[5;9]$ (siehe Abbildung rechts).

Die durchschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-5}=\frac{5.6}{4}=1.4\textrm{ m/s}$$

ACHTUNG: Da wir beim Differenzenquotient die Meter (= im Zähler) durch die Sekunden (= im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" ($m/s$).

Laut Angabe sind aber $km/h$ gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.4\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.0014\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }5.04\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die $1.4 m/s$ einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können.)

Somit hat das Fahrzeug zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $5.04 km/h$.

• Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-Achse der beiden Punkte $A$ und $B$ immer näher gegen $0$ gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.

• $Aha!$ $\ \ $ Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen.
• Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:

$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

1. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung $f'(x) (=k)$ der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
2. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.

• 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$

$\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)= 2\cdot x \end{align}$

Graphische Lösung der Aufgabe 2

• 2. Bestimmen der momentanen Steigung bei $x=2$:

$$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle $x=2$ beträgt $4$.