Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Definition & Darstellung von Vektoren

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet. Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ . Ein $n$-dimensionaler Vektor wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

Da sowohl die Rechenoperationen, als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

• Darstellung als Punkt: Dabei gibt $a$ die $x$-Koordinate und $b$ die $y$-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
• Darstellung als Pfeil: Dabei gibt $a$ die $x$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die $y$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.
  

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig: Einem Zahlenpaar (= Vektor) entspricht genau ein Punkt.
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Beispiel: Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Punktdarstellung des Vektors	Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die $z$-Koordinate des Vektors angegeben wird.

Ortsvektoren

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Rechnen mit Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Rechnerische Addition

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören. D. h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier

Übung zur rechnerischen Subtraktion von Vektoren
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier

Geometrische Darstellung der Vektoraddition

Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$:

Punkt + Pfeil - Darstellung:	Pfeil + Pfeil - Darstellung
An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt. In unserem Beispiel wird an den Punkt $(1 \vert 2)$ ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils $(5 \vert 5)$.	Zwei Pfeile werden aneinander gehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinander gehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$.
Anmerkung: Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.	Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ.

Vektoren bestimmen: „Spitze minus Schaft“ („Ziel minus Start“)

Zwischen $2$ Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt die „Spitze minus Schaft“-Regel.
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von $A$ nach $B$ geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt $B(3 \vert 3.5)$ entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt $A(1 \vert 0.5)$ dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3.5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3.5-0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$
  

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Rechnerische Multiplikation

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$, einem sogenannten „Skalar“, multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Geometrische Darstellung der Multiplikation

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles. Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

(Quelle dieses Applets)

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an (z. B. $u=a$).

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich langen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile. Der Start- bzw. Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

$2$ Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig.

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge		$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge		$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
parallel (unterschiedliche Orientierung):		$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$
linear unabhängig		$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$

Betrag und Einheitsvektor

Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

Der Einheitsvektor $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge $1$. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0} =\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$ bzw. $ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge $1$ besitzt.

Merke

Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

Vektoren bestimmter Länge

Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren, könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

Mittelpunkt einer Strecke

Willst du den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:

Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), so erhältst du den Mittelpunkt. Also:

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen: $$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.

Vektoren

Normalvektoren

Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau $2$ Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser $2$ Normalvektoren.

Merke

Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor. Vertausche die Koordinaten und ändere ein Vorzeichen.

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas „eigenartig“. Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären: Angenommen in einer Preisliste stehen $10$ Kugelschreiber, die jeweils $2€$ kosten und $20$ Bleistifte, die jeweils $0.50€$ kosten. In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

Produkt	Stückzahl	Preis pro Stück (in $€$)
Kugelschreiber	$10$	$2$
Bleistift	$20$	$0.50$

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert und anschließend die Summe gebildet werden. Genau das macht das Skalarprodukt: $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

Winkel zwischen zwei Vektoren

$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

bzw. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$

Heißt es, den Winkel zwischen $2$ Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als $180°$ ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von $360°$ ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$).
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

Orthogonalitätskriterium

Merke

Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt). $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist. $$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

Übungsaufgabe

Geraden

Darstellungsformen

Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und einen Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

Parameterdarstellung

$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$

wobei

• $X \in g$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
• $P \in g$ ist ein bekannter Punkt auf der Geraden
• $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Grafik rechts $\lambda$)
• $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt („Richtungsvektor“)

Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden. (Genauere Informationen zu Ortsvektoren findest du unter Grundlagen der Vektorrechnung.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und $2$ Gleichungen aufzustellen: $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

Normalvektorform

Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

Allgemeine Geradengleichung

Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Geraden direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es $2$ Möglichkeiten:

1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

2. Elimination des Parameters: Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung. Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von $x$ und $y$. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form $y=kx+d$ umformen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

• ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
• parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
• einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

Sind $2$ Geraden in Parameterdarstellung gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten $2$ Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.

Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die $2$ Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die $2$ Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in $2$ Unbekannten (die $2$ Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt.

Sind die $2$ Geraden in der allgemeinen Geradenform gegeben, so haben wir bereits $2$ Gleichungen, die wir nach $x$ und $y$ auflösen. Dieses $x$ und $y$ sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden sich die Geraden nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von Gleichungssystemen genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

Normalabstand Punkt - Gerade

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen $Q$ und $g$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Merke

1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt. 2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.

In der Grafik rechts hätten wir z. B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3|4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

Hesse'sche Abstandsformel

Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. $$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} |$$ wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge $1$) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:

$$Q' = S + \vec{QS}$$

Vektoren

Kreuzprodukt

Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sogenannte Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt $$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir in den folgenden beiden Unterabschnitten.

Normalvektoren

Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau $2$ Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von $2$ Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$. Dieser steht normal auf die Ebene bzw. auf die beiden Vektoren. Der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Man schreibt $$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks

Merke

Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche). Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.

Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren

Das Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium und Winkelmaß für Vektoren in $\mathbb{R^3}$ ist analog definiert wie in $\mathbb{R^2}$. Wir wiederholen nochmals kurz:

Skalarprodukt
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.

Übungsaufgabe

Orthogonalitätskriterium
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt). $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$

Winkel zwischen zwei Vektoren $$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

Geraden

Darstellungsformen

Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils $3$ Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$ Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du unter dem Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

Parameterfreie Darstellungsform

Diese besteht aus $2$ Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

• ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
• parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
• einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
• windschief sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie $2$ gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

Betrachtung der Richtungsvektoren: Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d. h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

Fall 1: Die Vektoren sind parallel: Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade).
Fall 1a: Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden ident (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen.
Fall 1b: Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel, da der überprüfte Punkt, und somit auch kein anderer, nicht auf beiden Geraden liegt.

Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel: Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief.
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d. h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen.
Fall 2a: Solltest du nun eine Lösung erhalten, d. h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander schneiden. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt.
Fall 2b: Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z. B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit windschief sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

[[Datei:Bsp.png|left]] ==Ebenen== Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt. ===Darstellungsformen=== ====Parameterdarstellung==== [[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]] UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-31-QINU bzw. UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-32-QINU wobei * $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene * $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene * $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter * $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen ====Normalvektorform==== Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhältUNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-33-QINU ====Allgemeine Ebenengleichung==== UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-34-QINUDiese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten: '''1. Multiplikation mit Normalvektor:''' Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-35-QINU '''2. Elimination des Parameters:''' Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung. Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen: [[Datei:Bsp.png|left]] ===Lagebeziehungen=== ====...zwischen zwei Ebenen==== Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$ * ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$ * parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$ * einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

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  2 Ebenen sind ident
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  2 Ebenen sind parallel
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  2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden

'''Berechnen der Schnittgerade'''
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel: [[Datei:Bsp.png|left]] ====...zwischen 3 Ebenen==== Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$ * alle ident sein * 2 ident, 1 parallel sein * alle parallel sein * 3 Schnittgeraden haben * 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel) * 1 Schnittgerade haben * 1 Schnittpunkt haben

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  3 Ebenen sind ident
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  2 Ebenen sind ident, 1 parallel
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  3 Ebenen sind parallel
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  3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
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  3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
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  3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
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  3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
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  3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt

====...zwischen Ebene und Gerade==== Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$ * $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben. * parallel sein Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben. * 1 Schnittpunkt haben Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

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  Gerade liegt auf der Ebene
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  Gerade und Ebene sind parallel zueinander
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  Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein.
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen: UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-45-QINU
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung): UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-46-QINU Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene.
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel.
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden: [[Datei:Bsp.png|left]] Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen: [[Datei:Bsp.png|left]] Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen. ==Pyramidenbeispiel== [[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide. Gesucht sind: # der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche # die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe # die Fläche der Grundfläche # die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form # Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$ # Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist # Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an # Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest 1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$

2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$ UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-49-QINU UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-50-QINU
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$

4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$ UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-51-QINU oder UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-52-QINU b) Parameter elimieren: UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-53-QINU UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-54-QINU UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-55-QINU
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$

6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen: UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-56-QINU UNIQ6d7ac8fcdeec0020-MathJax-57-QINU
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$

b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$

c) $\epsilon: z = 1$

8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$

$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ =Beispiele= Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen: ===Grundlagen der Vektorrechnung=== [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf] ===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$=== [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf] ===Vektorrechnung im $\mathbb{R^3}$===

VektorrechnungR3BspAngabe.pdf
VektorrechnungR3BspLösung.pdf