Schuldentilgung: Unterschied zwischen den Versionen

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Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
 
Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
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* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.   
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* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant| Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.   
 
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant  
 
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant  
 
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.
 
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.
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Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.  
 
Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.  
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Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.  
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Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:
 
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:
  
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*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
 
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
 
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
 
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
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* Wird unterjährig eingezahlt und ist nur der Jahreszinssatz gegeben, so muss zuerst der [[Zins-_und_Zinseszinsrechnung#b.29_der_konforme_.28.C3.A4quivalente.29_Zinssatz|konforme unterjährige Zinssatz]] bestimmt werden.
 
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).  
 
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).  
 
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
 
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
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:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.  
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:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.  
 
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Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:
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* Die alte Restschuld beträgt € 91.
 
* Die alte Restschuld beträgt € 91.
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Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....
 
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* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
 
* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
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==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
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Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.  
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Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlungen bei i=4% p.a. zu tilgen.  
  
 
a) Berechne die Höhe der Raten.
 
a) Berechne die Höhe der Raten.
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== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==
 
== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==
  
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Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.  
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Es gilt  
 
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Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.
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Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kredit getilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.
  
  
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* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
 
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
 
*  [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]<span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span>  
 
*  [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]<span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span>  
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*  [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]  [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]  
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: siehe auch
 
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::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
 
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: siehe auch
 
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*  [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=66&file=Segelboot.pdf Segelboot]
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=431&file=Hotelrenovierung_(3).pdf Hotelrenovierung (3)}}
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: Siehe auch: [[Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln]] sowie [[Binomialverteilung]]
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=420&file=Anschaffungen.pdf Anschaffung}}
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=664&file=Renovierungskredit_*.pdf Renovierungskredit}}
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=432&file=Startkapital.pdf Startkapital}}
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:Siehe auch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
  
  

Aktuelle Version vom 17. Februar 2017, 10:24 Uhr

Einleitung und Begriffe

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.


Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:


  • Annuität
= der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
  • Zinsenanteil
= jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
  • Tilgungsanteil
 = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.




Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels:

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
  • Die Annuität beträgt € 1.100.
  • Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
  • Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
  • Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.





Merke:


Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil



Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:

  • Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
  • Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant
  • Zinsenschuld - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

Tilgungsplan

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung. Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch die Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind. Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:



Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 Schuld zu Beginn
1 $ZA_1$

Zinsanteil bei der ersten Zahlung

$TA_1$

Tilgungsanteil der ersten Zahlung

$A_1$

Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)

$RS_1$

Restschuld nach einem Jahr

2 $ZA_2$

Zinsanteil bei der zweiten Zahlung

$TA_2$

Tilgungsanteil der zweiten Zahlung

$A_2$

Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)

$RS_2$

Restschuld nach dem 2. Jahr

$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$


Hinweise

  • Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:

$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$

  • Wird unterjährig eingezahlt und ist nur der Jahreszinssatz gegeben, so muss zuerst der konforme unterjährige Zinssatz bestimmt werden.
  • Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
  • Vorteile des Tilgungsplans sind:
  • Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblick über alle Zahlungen.
  • Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.




Musterbeispiel Tilgungsplan

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!


Lösung


1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans


  • Die Anfangsschuld ist € 100.
  • Die Anniuität ist konstant € 10.
  • $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
  • $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
  • Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 100 €
1 $100\cdot \frac{1}{100}=1$

Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$

 $10-1=9$

Allgemein: $TA=A-ZA$

$10$

Allgemein: $A=TA+ZA$

$100-9=91$

Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$


2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans


Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun vom Ausgangswert die obere Zeile:

  • Die alte Restschuld beträgt € 91.
  • Die Anniuität ist konstant € 10.
  • $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
  • $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
  • Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 100 €
1 $100\cdot \frac{1}{100}=1$ $10-1=9$ $10$ $100-9=91$


2 $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$

Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$

 $10-0.91=9.09$

Allgemein: $TA=A-ZA$

$10$

Allgemein: $A=TA+ZA$

$91-9.09=81.91$

Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$


$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$


3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan


Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 100 €
1 $100\cdot \frac{1}{100}=1$ $10-1=9$ $10$ $100-9=91$


2 $0.91$ $9.09$ $10$ $81.91$


3 $0.82$ $9.18$ $10$ $72.73$


4 $0.73$ $9.27$ $10$ $63.46$
5 $0.63$ $9.37$ $10$ $54.09$
6 $0.54$ $9.46$ $10$ $44.63$


7 $0.45$ $9.55$ $10$ $35.08$
8 $0.35$ $9.65$ $10$ $25.43$
9 $0.25$ $9.75$ $10$ $15.68$
10 $0.16$ $9.84$ $10$ $5.84$
11 $0.06$ $5.84$

Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.

$5.90$

$A=ZA+TA$

$0$


Achtung! Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84! Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch $$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$ $$ A= 5.84+0.06 $$ $$A= 5.90$$




Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine Rente, da

  • ein konstanter Betrag (=Annuität)
  • in konstanten Zeitabständen

eingezahlt wird. Wichtig:

  1. Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
  2. Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die Formeln für den Barwert.




Musterbeispiele Annuitätenschuld

Beispiel für jährliche Zahlungen

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

Lösungen


Lösung für a)



  • B=10.000
  • n=5
  • i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
  • nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$ $$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$ $$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.



Lösung für b)


  • Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
  • Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
  • Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:


Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 $2246,27$
2 $2246,27$
3 $2246,27$
4 $2246,27$


5 $2246,27$


Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unten die einzelnen Werte:

  • $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
  • $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
  • $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
  • usw.
Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 $400$ $1846.272$ $2246.27$ $ 8153.73$


2 $326.15$ $1920.12$ $2246.27$ $6233,61$
3 $249.34$ $1996.93$ $2246.27$ $4236,68$
4 $169.47$ $2076.80$ $2246.27$ $2159.88$
5 $86.40$ $2159.87$ $2246.27$ $ 0.01$


Achtung! Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.



Lösung von c)

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).






Beispiel für monatliche Zahlungen

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlungen bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

Lösungen


Lösung a)


  • R=?
  • B=10.000
  • n=$5\cdot 12=60$
  • i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$

!!Achtung!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der konforme Zinssatz berechnet werden!!

  • nachschüssig



$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$ $$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.




Lösung b)




  • Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
  • Die Annuität ist konstant 184.17 (siehe a)
  • Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:


Monat Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 $32,7$ $151,47$ $184,17$ $9815,83$
2 $32,01$ $152,07$ $184,17$ $9631,66$
3 $31,50$ $153,67$ $184,17$ $9446,49$

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.







Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant

Bei einer Ratenschuld bleibt der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodurch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt

$$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$


Begründung: Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.


Musterbeispiel Ratenschuld

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.


Lösungen


Lösung für a)


$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$ $$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$



Lösung für b)


  • i=4%
  • TA=2000 für alle 5 Jahre
  • Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 2.000 8.000

$10.000-2.000$


2 2.000 6.000
3 2.000 4.000
4 2.000 2.000
5 2.000 0



Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 400

$ZA_1=10.000\cdot 0.04$

2.000 2.400

$A_1=ZA_1+TA_1$

 8.000


2 320 2.000 2.320 6.000
3 240 2.000 2.240 4.000
4 160 2.000 2160 2.000
5 80 2.000 2.080 0





Lösung für c)

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt: $$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$









Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kredit getilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.



Musterbeispiel Zinsenschuld

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

Lösung


  • i=4%
  • Anfangsschuld = 10.000


Somit beträgt der Zinsanteil konstant $$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

Jahr Zinsateil ZA Tilgungsanteil TA Annuität A Restschuld RS
0 0 0 0 10.000 €
1 400 0 400

$A_1=ZA_1+TA_1=400+0$

10.000



2 400 0 400 10.000
3 400 0 400 10.000
4 400 0 400 10.000
5 400 10.000 10.400 0










Online-Materialien und Übungsbeispiele

siehe auch
siehe auch


$Bifie$ Hotelrenovierung (3)

Siehe auch: Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln sowie Binomialverteilung

$Bifie$ Anschaffung


$Bifie$ Renovierungskredit


$Bifie$ Startkapital

Siehe auch: Wachstums- und Zerfallsprozesse
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