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| − | {{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.
| + | #WEITERLEITUNG[[Gleichungssysteme]] |
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| − | '''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | = Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
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| − | '''Beispiel:'''
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.
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| − | == Lösungsmenge $\mathbb{L}$==
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| − | Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$|2=
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| − | '''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
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| − | $$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
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| − | Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}
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| − | Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
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| − | == Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
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| − | # Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts). | + | |
| − | # Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
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| − | # Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
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| − | # Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}
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| − | |{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | |2=
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| − | '''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):
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| − | $ \begin{align}
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| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | '''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:
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| − | $ \begin{align}
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| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
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| − | 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | '''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
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| − | $ \begin{align}
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| − | -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
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| − | 4x&+&2y&=&94& \\
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| − | \end{align}$
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| − | '''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
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| − | $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$
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| − | $ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
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| − | Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
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| − | $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
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| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
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| − | {| border=1
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| − | | Wichtig
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| − | | Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.
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| − | Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
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| − | == Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''
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| − | 1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])
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| − | 2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.
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| − | 3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | |2=
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| − | '''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:
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| − | $ \begin{align}
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| − | I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
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| − | I:\ \ &x &=&35-y
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| − | \end{align}$
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| − | '''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:
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| − | $ \begin{align}
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| − | II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
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| − | II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | '''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)
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| − | $ \begin{align}
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| − | II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
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| − | II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
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| − | 140-2y&=94&\ \vert -140\\
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| − | -2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
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| − | y&=23
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| − | \end{align}$
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| − | Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
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| − | $$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
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| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
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| − | == Graphisches Verfahren ==
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Methode:'''
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| − | 1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
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| − | 2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]
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| − | 3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | |2=
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| − | 1. Schritt: Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
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| − | $\begin{align}
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| − | I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
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| − | II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
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| − | \end{align}$
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| − | 2. Schritt: Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])
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| − | [[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]
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| − | 3. Schritt: Ermitteln des Schnittpunktes.
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| − | Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}.
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| − | <span style="background-color:yellow"> Achtung!</span> Oft ist es händisch schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
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| − | * [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
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| − | * den [[Intersect-Befehl]] des TI}}
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| − | == Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
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| − | == Verfahren mit GeoGebra-CAS ==
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| − | = Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =
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| − | Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.
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| − | [[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
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