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| − | ==Definition==
| + | #WEITERLEITUNG[[Potenzen]] |
| − | Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:
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| − | [[Datei:Graphik Potenz.png|thumb|center|300px|Aufbau einer Potenz]] | + | |
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| − | Beispiele:
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| − | * $2^3$
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| − | * $5^x$
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| − | * $x^{-2}$
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| − | * $c^{b+a}$
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| − | Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R}$]].
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| − | ==Rechnen mit Potenzen==
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| − | Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ berechnen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:
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| − | ===1. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''1. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
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| − | Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2= $x^n\cdot x^m=\left(\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x}_{m-mal}\right)$
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| − | $=\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x\cdot x\cdot . . . \cdot x}_{n+m-mal}=x^{n+m}$
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| − | Musterbeispiele: Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $x^3\cdot x^2=$
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| − | |2= $x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $2^4\cdot 2^3\cdot b^2$
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| − | |2=
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| − | $2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$
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| − | !Achtung! Weiter kannst du diesen [[Term]] nicht zusammenfassen, da 2 und b unterschiedliche Basen sind}}
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| − | ===2. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''2. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
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| − | Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | $\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt m Stück a gekürzt werden.}$
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| − | $=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$
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| − | Musterbeispiele: Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^3}{x^2}=$
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| − | |2= $\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$
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| − | |2=
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| − | $\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$
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| − | ===3. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''3. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
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| − | Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | $\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$
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| − | $\overset{(Regel \ 1)}{=}$
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| − | $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$
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| − | Musterbeispiele: Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(x^3\right)^2=$
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| − | |2= $\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(x^{-3}\right)^2=$
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| − | |2=
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| − | $\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$
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| − | }}
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| − | ===4. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''4. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$
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| − | Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a ungleich 0 ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null Informationen zu $0^0$ findest du hier].
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | $a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$
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| − | Musterbeispiele: Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $x^0=$
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| − | |2= $x^0=1$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $12341234^0=$
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| − | |2=
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| − | $12341234^0=1$
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| − | ===5. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''5. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$
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| − | Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den [[Kehrwert]] bildet oder ''verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten''.
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | $a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $
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| − | Musterbeispiele: Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^2}{x^{-3} }=$
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| − | |2= $\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$
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| − | $\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$
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| − | Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.
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| − | ===6. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''6. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
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| − | Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''hoch-nimmt'')
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | $(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$
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| − | $\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$
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| − | $=a^n\cdot b^n$
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| − | Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $(x\cdot y)^3$
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| − | |2= $(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $(x^2\cdot y^3)^{-4}$
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| − | |2= $(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$ }}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)$
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| − | |2= $\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$
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| − | Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der [[Brüche |Bruchrechnung]] dividiert wird, indem mit dem [[Kehrwert]] multipliziert wird:
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| − | $=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$
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| − | Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an:
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| − | $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $
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| − | $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$
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| − | ===7. Potenzregel===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''7. Regel der Potenzrechnung'''
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| − | $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$
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| − | Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
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| − | }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
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| − | |2=
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| − | Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:
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| − | ${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$ Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.
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| − | Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\sqrt[3]{5}=$
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| − | |2= $\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\sqrt[3]{5^{12} }=$
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| − | |2= $\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$
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| − | |2= $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$}}
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