Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Koordinatensystem

Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

• die x-Achse (waagrecht) und
• die y-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung; seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Koordinate dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

Punkte im $\mathbb{R^2}$

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als P(x/y) ($\mathbb{R^2}$) bzw. P(x/y/z) ($\mathbb{R^3}$). Die erste Koordinate entspricht also der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

• A(2/0)
• B(0/-2)
• C(-1/2)

Vektoren

Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

Merke

Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$). Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierter Pfeile!

Mit Hilfe von Vektoren lassen sich also Bewegen darstellen. Ein einfaches Beispiel wäre, einen Punkt zu verschieben.

unterschiedliche Längen