Wendepunkt und Wendetangente: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]] | [[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]] | ||
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* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt). | * Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt). | ||
| − | * Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. | + | * Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }} |
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=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt === | === Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt === | ||
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# $f''(x_0)=0$ UND | # $f''(x_0)=0$ UND | ||
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Version vom 21. August 2014, 16:56 Uhr
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Wie erkennt man einen Wendepunkt?
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt.
Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt
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Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
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Video
Musterbeispiel
Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$
1. Wendepunkt
Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$ $$f'''(x)=2$$
Nun setzen wir die zweite Ableitung 0:
$$f''(x)=2x-8$$ $$0=2x-8$$ $$x=4$$
Somit ist die Stelle $x=4$ ein möglicher Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:
$$f'''(x)=2$$ Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für alle x den Wert 2 hat), gilt insbesondere $$f'''(4)=2\ne 0$$ Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.
Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$
Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.
2. Wendetangente
Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
- den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
- die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:
Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$:
$$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$ $$f'(4)=-9$$
Somit ist $k=-9$
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten: $$y=kx+d$$ $$15.33=-9\cdot 4+d$$ $$d=51.33$$
Somit lautet die Gleichung der Wendetangente: $$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$
