Quelltext der Seite Exponentialfunktionen(3.5.)

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form 
$$f(x)=b\cdot a^x  \textrm{           mit }  b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$ 
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}  \textrm{           mit } b \in \mathbb{R}^+,\  \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}


'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$   Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen




== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b  bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:


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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$   
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
|  [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----


{| border="0"
|- 
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''  
|-
| für $a>1$  oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$  
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]]  und nähert sich immer mehr der x-Achse 
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}
  
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 Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==


* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden. 
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann. 

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

 
'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{| 
|-
| 

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \  y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $        (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$


</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===




 
'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{| 
|-
| 

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \  y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$        

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\  4=b\cdot a^1  \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$ 
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow  \underline{a=4}$


Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$


</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
 

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2}  \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>




=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$  (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt 
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 


[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2}    \ \ \ \  | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \   |ln(e)=1 \ \ \  |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]  

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
*  [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]  $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$ 
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$  keine Lösung. 

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion   $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt. 
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

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[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]