Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
- $s(t)$ gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)
- $v(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges $s(t)$, d. h.
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$
- $a(t)$ gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h.
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$
Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:
Beispiele
Beispiel 1
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. $5.5 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während des ganzen Fluges konstant ist (d. h. $a(t)=5.5 m/s^2$). Die Variable $t$ gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden ($s$) an.
- a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)
- b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Funktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
- c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
- Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
- Berechnen Sie:
- d) In etwa $1000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5.5 \cdot dt$$ $$v(t)=5.5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5.5 \cdot t$$
Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet $v(t)=5.5 \cdot t$.
b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Wegfunktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5.5t \cdot dt$$ $$s(t)=5.5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2.75 \cdot t^2$$
Antwort: Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$.
c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie ...
- ... die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2.75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89 100 m$$
Antwort: Nach $180$ Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von $89 100 m$.
- ... die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=5.5 \cdot t$$
$$v(180)=5.5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$
Antwort: Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht.
d) In etwa $1000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$1 000 000=2.75 \cdot t^2$$
$$t=603.02$$
Antwort: Nach $603.02$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $1 000 000$ Meter.
Beispiel 2
Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von $7.94 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt, d. h. $a(t)=7.94 m/s^2$. Die Variable $t$ gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.
a) Bestimmen Sie die Funktion $v(t)$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angibt. (Anfangsfunktion $= 0$)
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7.94 \cdot dt$$
$$v(t)=7.94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7.94 \cdot t$$
Antwort: Die Funktion lautet $$v(t)=7.94 \cdot t$$.
b) Bestimmen Sie mithilfe der Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ die Funktion $s(t)$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)= 7.94 \cdot t (+c)$$ $$s(t)=\int 7.94 \cdot dt$$ $$s(t)=\int 7.94 \cdot dt (+ c)$$ $$s(t)=7.94 (t^2)/2 + c \cdot t$$ $$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
Antwort: Die Funktion lautet: $$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
c) Berechnen Sie ...
- ... die zurückgelegte Distanz nach $300$ Sekunden.
Tipp zur Berechnung:
$$s(300)= 3.9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$ $$s(300)= 357 300 m$$
- ... die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt.
Tipp zur Berechnung:
$$v(300)= 7.94 \cdot 300 (+c)$$ $$v(300)= 2 382 m/s$$
$2 382 m/s \rightarrow 661.67 km/h$
d) Nach $2 000 km$ erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht.
Tipp zur Berechnung:
$$2 000 000=3.97 \cdot t^2$$ $$t = 709.77 Sek.$$
$709.77 s \rightarrow 11.83 min$