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Begriffe

Wird die Geschwindigkeit $v$ durch den Graphen angegeben, so ist die Steigung die Beschleunigung $a$. Der Flächeninhalt unter $v$ gibt den Weg $s$ an.

• $s(t)$ gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)

• $v(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges $s(t)$, d. h.

$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$

• $a(t)$ gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h.

$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$

Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:

Beispiele

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s². Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s². Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

a)Bestimmen Sie die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0=0)

b) Bestimmen Sie mithilfe von v die Funktion s, die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia). Berechnen Sie:

• die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
• die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

d) In etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

a)Bestimmen Sie die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0=0)

Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das die Integrationskonstante c=$v_0$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und damit gelten muss v(0)=0.

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$

Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$

b) Bestimmen Sie mithilfe von v den Wegfunktion s, die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion des Weges s gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationkonstante $c=s_0$ wegfällt, da unser zurückgelegte Strecke zu Beginn 0 ist.

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=5,5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$

c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia). Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

Tipp zur Berechnung:

s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit t 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet.

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$

Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.

Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.

Tipp zur Berechnung:

v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit für t=180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Das Ergebnis erscheint in m/s. Wenn das Ergebnis in km/h gewünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.

$$v(t)=5,5 \cdot t$$ $$v(180)=5,5 \cdot 180$$ $$v(180)=990 m/s$$

$$990 m/s \rightarrow 3564 km/h$$

Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 3564 km/h erreicht.

d) In etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

Tipp zur Berechnung:

Die Funktion s beschreibt den zurückgelegten Weg. Wenn wir die unrealistische Annahme voraussetzen, dass die Rakete "kerzengerade" emporsteigt müssen wir somit berechnen, wann s(t)=1000 km=1'000'000 m beträg. D Wichtig ist hierbei, dass s(t) den Weg in m angiebt!

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$ $$t=603,02$$

Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.

Weitere Beispiele

Beispiele samt Lösungen von brinkmann-du

Quiz

noch zu überarbeiten!

http://learningapps.org/watch?v=per6zao0n01