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| | In der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit der Auswertung von Datenmengen. Die Auswertung erfolgt dabei über graphische Darstellungsformen (Diagramme) und einzelne aussagekräftige Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Spannweite, ...) mit denen Rückschlüsse auf Grundgesamtheit aller Daten bezogen werden können. | | In der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit der Auswertung von Datenmengen. Die Auswertung erfolgt dabei über graphische Darstellungsformen (Diagramme) und einzelne aussagekräftige Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Spannweite, ...) mit denen Rückschlüsse auf Grundgesamtheit aller Daten bezogen werden können. |
| | | | |
| − | == Begriffe ==
| + | {{:Statistik:Daten und Diagramme}} |
| − | $n...$ Umfang der Stichprobe
| + | |
| | | | |
| − | $x_1...$ Zahl an der 1. Stelle
| + | {{:Statistik:Zentralmaße}} |
| | | | |
| − | $x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle
| + | {{:Statistik:Streuungsmaße}} |
| − | | + | |
| − | $\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1; ;5; 5; 5; 10;\}$ )
| + | |
| − | | + | |
| − | $a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)
| + | |
| − | | + | |
| − | $a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)
| + | |
| − | | + | |
| − | $a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt
| + | |
| − | | + | |
| − | == Arten von Merkmalen/Daten ==
| + | |
| − | Im groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:
| + | |
| − | * '''nominale Merkmale''' können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
| + | |
| − | * '''ordinale Merkmale''' können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
| + | |
| − | * '''metrische Merkmale''' können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == Absolute und relative Häufigkeit ==
| + | |
| − | {{Vorlage:Definition|1= Die '''absolute Häufigkeit $H_i$''' gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt.
| + | |
| − | | + | |
| − | z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\} $ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt}}
| + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= In einer (kleinen) Umfrage werden von $n=15$ Personen die Schuhgrößen gemessen. Das Ergebnis ist in der folgenden Liste angegeben:
| + | |
| − | $$\{36;36;36;37;37;37;37;38;38;40;41;42;42;42;46\}$$
| + | |
| − | Aufgabe: Ermitteln Sie in einer Tabelle die Häufigkeit jedes Merkmals (=$a_i$).
| + | |
| − | |2=
| + | |
| − | '''Lösung'''
| + | |
| − | <span style="color:#E6F6CE;" > { </span>
| + | |
| − | {{{!}} class="wikitable"
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | ! Werte $a_i$
| + | |
| − | ! Häufigkeiten $H_i$
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 36
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 37
| + | |
| − | {{!}} 4
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 38
| + | |
| − | {{!}} 2
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 40
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 41
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 42
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 46
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} '''Summe'''
| + | |
| − | {{!}} '''15'''
| + | |
| − | {{!}}}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.
| + | |
| − | | + | |
| − | So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd dagegen wohl eher klein.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel '''Prozent''' der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...
| + | |
| − | {{Vorlage:Definition|1= Die '''relative Häufigkeit $h_i$''' gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt:
| + | |
| − | $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit:
| + | |
| − | $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$}}
| + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie mithilfe der Tabelle aus der Schuhgrößenumfrage (siehe oben)
| + | |
| − | die relative Häufigkeiten $h_i$.
| + | |
| − | <span style="color:#E6F6CE;" > { </span>
| + | |
| − | {{{!}} class="wikitable"
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | ! Werte $a_i$
| + | |
| − | ! absolute Häufigkeiten $H_i$
| + | |
| − | ! relative Häufigkeiten $h_i$
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 36
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}} $\ \ \ $
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 37
| + | |
| − | {{!}} 4
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 38
| + | |
| − | {{!}} 2
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 40
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 41
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 42
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 46
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} '''Summe'''
| + | |
| − | {{!}} '''15'''
| + | |
| − | {{!}}
| + | |
| − | {{!}}}
| + | |
| − | |2=
| + | |
| − | '''Lösung'''
| + | |
| − | $n=15$
| + | |
| − | <span style="color:#E6F6CE;" > { </span>
| + | |
| − | {{{!}} class="wikitable"
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | ! Werte $a_i$
| + | |
| − | ! absolute Häufigkeiten $H_i$
| + | |
| − | ! relative Häufigkeiten $h_i$
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 36
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}} $\frac{3}{15}=20$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 37
| + | |
| − | {{!}} 4
| + | |
| − | {{!}} $\frac{4}{15}=26.7$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 38
| + | |
| − | {{!}} 2
| + | |
| − | {{!}} $\frac{2}{15}=13.3$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 40
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 41
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 42
| + | |
| − | {{!}} 3
| + | |
| − | {{!}} $\frac{3}{15}=20$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} 46
| + | |
| − | {{!}} 1
| + | |
| − | {{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
| + | |
| − | {{!}}-
| + | |
| − | {{!}} '''Summe'''
| + | |
| − | {{!}} '''15'''
| + | |
| − | {{!}} '''$\frac{15}{15}=100$%'''
| + | |
| − | {{!}}}
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | == Diagramme ==
| + | |
| − | === Stab- und Balken-/Säulendiagramme ===
| + | |
| − | === Kreisdiagramm ===
| + | |
| − | | + | |
| − | === Boxplot (Kastenschaubild) ===
| + | |
| − | http://tube.geogebra.org/student/m5245
| + | |
| − | | + | |
| − | http://tube.geogebra.org/student/m274871 (Andi Lindner)
| + | |
| − | | + | |
| − | http://tube.geogebra.org/student/b115371#material/56673 (sollte bearbeitet werden)
| + | |
| − | | + | |
| − | http://tube.geogebra.org/student/m129201 (Test)
| + | |
| − | | + | |
| − | === Schummeln mit Statistik ===
| + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Video|Db2VMc69urk}}
| + | |
| − | | + | |
| − | Rest folgt noch
| + | |
| − | | + | |
| − | == Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel ==
| + | |
| − | Um "''das Mittel''" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === arithmetisches Mittel $\bar{x}$ ===
| + | |
| − | ====Definition ====
| + | |
| − | Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen.
| + | |
| − | Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.
| + | |
| − | | + | |
| − | Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt:
| + | |
| − | $$\rightarrow \bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
| + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Definition|1= Das '''arithmetische Mittel''' $\bar{x}$ ist definiert als
| + | |
| − | $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$
| + | |
| − | $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$
| + | |
| − | | + | |
| − | Formal: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | ==== Das gewichtete arithmetische Mittel ====
| + | |
| − | Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "''gewichtete arithmetische Mittel''" verwendet werden:
| + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Merke|1= '''Formel mit der absoluten Häufigkeit'''
| + | |
| − | $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$
| + | |
| − | $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Gegeben sind die Notenmenge $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="margin:0px 0px 10px 0px;">
| + | |
| − | <div style="float:left; padding:0px 10px;">
| + | |
| − | {| class="wikitable"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | ! Noten $a_i$ !! $H_i$ !! $h_i$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 1 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 2 || 3 || $\frac{3}{5}=60$%
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 5 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | ! [[Summe|$\sum$]] !! 5 || $\frac{5}{5}=100$%
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
| + | |
| − | $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
| + | |
| − | $$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Merke|1= '''Formel mit der relativen Häufigkeit'''
| + | |
| − | $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$
| + | |
| − | $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Wichtig: Eine fast identische Formel wird später wieder für den [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Erwartungswert und Standardabweichung|Erwartungswert]] verwendet!
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | '''Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
| + | |
| − | <div style="margin:0px 0px 10px 0px;">
| + | |
| − | <div style="float:left; padding:0px 10px;">
| + | |
| − | {| class="wikitable"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | ! Noten $a_i$ !! $H_i$ !! $h_i$
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| − | |-
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| − | | 1 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
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| − | |-
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| − | | 2 || 3 || $\frac{3}{5}=60$%
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| − | |-
| + | |
| − | | 5 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
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| − | |-
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| − | ! [[Summe|$\sum$]] !! 5 || $\frac{5}{5}=100$%
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
| + | |
| − | $$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="clear:both;">
| + | |
| − | {| class="wikitable" cellpadding="10"
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | !| <span style="color:#EE4000"> '''Welche Formel verwende'''
| + | |
| − | '''ich für $\bar{x}$?''' </span>
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {| border="1" cellpadding="10"
| + | |
| − | ! Ist folgendes gegeben ... !! ... verwende ich diese Formel
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | absolute Häufigkeiten $H_i$
| + | |
| − | | $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | relative Häufigkeiten $h_i$
| + | |
| − | | $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | weder $H_i$ noch $h_i$
| + | |
| − | | $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n} x_i$$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...
| + | |
| − | | + | |
| − | === Median $\tilde{x}$ ===
| + | |
| − | {{Vorlage:Definition|1=
| + | |
| − | Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der '''Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Liegen genau zwei werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Formal''':
| + | |
| − | | + | |
| − | $\begin{align}
| + | |
| − | &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\
| + | |
| − | &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n+1}{2} } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\
| + | |
| − | \end{align}$
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Beispiel für den Median''': Geben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln sie den Median $\tilde{x}$.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Lösung''': Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
| + | |
| − | {| align="center" padding="2"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | durch Ablesen || $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | rechnerisch || $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels ===
| + | |
| − | Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$.
| + | |
| − | $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$
| + | |
| − | Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?
| + | |
| − | | + | |
| − | Antwort: Der Grund liegt daran, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Merke|1= Allgemein gilt:
| + | |
| − | * Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ kann durch einzelne Ausreißer stark beeinflusst werden.
| + | |
| − | * Der Median $\tilde{x}$ wird davon in der Regel nicht beeinflusst.
| + | |
| − | Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_beschreibende_statistik/beschreibendeStatistik/content/zstr/index.html dieses Arbeitsblatt] ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).
| + | |
| − | {{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgaben zum Arbeitsblatt'''
| + | |
| − | |2=
| + | |
| − | $$ \ $$
| + | |
| − | # Setze "Zahl der Datenwerte" auf 5.
| + | |
| − | #: Schiebe nun 4 Werte auf "1" und einen auf "4". Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
| + | |
| − | # Verteile anschließend alle 5 Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
| + | |
| − | #: Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Lösungen:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1. Der Median ist der mittlere Wert aller 5 Werte und bleibt deshalb bei 1. Mittelwert dagegen liegt zwischen 1 und 4.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der MItte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Hinweis: Ein etwas [http://tube.geogebra.org/student/m70980 komplexeres Arbeitsblatt findest du hier]
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | | + | |
| − | === Modus ===
| + | |
| − | kommt bald
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === geometrisches Mittel ===
| + | |
| − | <!--
| + | |
| − | https://www.youtube.com/watch?v=--_tbfsRvA4
| + | |
| − | https://www.youtube.com/watch?v=t_V9vnbR0DE
| + | |
| − | -->
| + | |
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| − | == statistische Kennzahlen für die Streuung ==
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| − | Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
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| − | Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen
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| − | Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße, als die Werte im rechten Bild.
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| − | Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzlich Kennzahlen für die Streuung von Werten.
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| − | === Spannweite ===
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| − | {{Vorlage:Definition|1= Die '''Spannweite''' ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge.
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| − | $$Spannweite=x_{max}-x_{min}$$
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| − | }}
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| − | Beispiel: Gegeben sei die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.
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| − | Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$
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| − | $$Spannweite=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$
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| − | Die Spannweite beträgt $4$
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| − | === Varianz und Standardabweichung ===
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| − | Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre foldende:
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| − | Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
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| − | {{Vorlage:Ausklapp|1= Herleitung der Standardabweichung
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| − | Um die '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' (=Standardabweichung) zu erhalten machen wir folgendes:
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| − | |2=
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| − | $$\ $$
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| − | # Schritt: Wir berechnen den Abstand aller Werte von $\bar{x}$:
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| − | #: $$(x_1-\bar{x}) \textrm{ und } (x_2-\bar{x}) \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})$$
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| − | # Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:
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| − | #: $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$
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| − | # Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$:
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| − | #: $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
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| − | # Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):
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| − | #: $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
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| − | Oder verkürz angeschrieben:
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| − | $$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
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| − | }}
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| − | {{Vorlage:Definition|1= Die '''Standardabweichung [[sigma|$\sigma$]]''' gibt die Streuung aller Werte vom Erwartungswert $\bar{x}$ an und wird berechnet mit
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| − | $$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
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| − | Verkürzt:
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| − | $$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
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| − | Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung:
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| − | $$\sigma ^2=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$
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| − | }}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Liste $\{1;2;2;2;5\}$.
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| − | |2=
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| − | $n=5$ Werte
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| − | $$\bar{x}=\frac{1+2\cdot 3+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
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| − | Somit beträgt das arithm. Mittel $\bar{x}=2.4$
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| − | Um die Standardabweichung zu berechnen, ermitteln wir zuerst die Varianz und ziehen anschließend die Wurzel (so vermeiden wir häufige Rechenfehler):
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| − | $$\sigma^2 =\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
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| − | $$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(1-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(5-2.4)^2}{5}$$
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| − | $$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(2-2.4)^2\cdot 3+(5-2.4)^2}{5}$$
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| − | $$\sigma^2=\frac{(-1.4)^2+(-0.4)^2\cdot 3+2.6^2}{5}$$
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| − | $$\sigma^2=\frac{9.2}{5}=1.84$$
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| − | Somit erhalten wir für die Standardabweichung $\sigma$:
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| − | $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.84}=1.36$$
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| − | Die Standardabweichung beträgt $\sigma=1.36$
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| − | === Quartile ===
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| − | {{Vorlage:Definition|1=
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| − | Die Quartile $Q_1,\ Q_2\ (=\tilde{x}),\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in 4 Bereiche.
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| − | [[Datei:Quartile.png|thumb|300px|center|Quartile einer Datenmenge mit 5 Werten. $Q_1$ ist zwischen dem 1. und 2. Wert, $Q_3$ zwischen dem 4. und 5.]]
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| − | Berechnung:
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| − | # Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften zeilt. $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$.
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| − | # Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte.
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| − | # Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.
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| − | }}
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| − | Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines [[Beschreibende Statistik#Boxplot (Kastenschaubild)|Boxplot-Diagramms]] relevant.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplotdiagramm.
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| − | |2=
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| − | $\ $
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| − | * $x_{min}=1$
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| − | * $x_{max}=5$
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| − | * $\{1\underbrace{;}_{Q_1}2;\ \underbrace{2}_{\tilde{x} }\ ;\ 2\underbrace{;}_{Q_3} 5\}$
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| − | *:
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| − | *: $Q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$,
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| − | *: $\tilde{x}=2$ und
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| − | *: $Q_3=\frac{2+5}{2}=3.5$
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| − | [[Datei:Boxplot-bsp1.png|thumb|center|400px|Boxplot-Diagramm der Liste $\{1;2;2;2;5\}$]]
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| − | }}
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| − | {{Vorlage:Merke|1= Der '''Quartilsabstand" ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$.
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| − | $$Quartilsabstand=Q_3-Q_1$$
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| − | Graphsich entspricht dies der Länge der "Box" im Boxplot-Diagramm.
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| | == Berechnung der Kennzahlen mit Technologie == | | == Berechnung der Kennzahlen mit Technologie == |
In der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit der Auswertung von Datenmengen. Die Auswertung erfolgt dabei über graphische Darstellungsformen (Diagramme) und einzelne aussagekräftige Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Spannweite, ...) mit denen Rückschlüsse auf Grundgesamtheit aller Daten bezogen werden können.
