Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

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Definition	Das Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt: "Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."

Musterbeispiel

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

1. Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
2. Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

Frage: Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann?

Antwort: Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.

In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet

Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:

• Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
• Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der Aufzinungsfaktor r beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

Berechnung des Barwerts Berechnung des Endwerts Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor): Berechnung des Barwertes Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$ Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$ Antwort Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist). Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor): Berechnung des Endwertes Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $ Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $ Antwort Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!

Merke	Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!