Inhalt:Statistik:Zentralmaße
Inhaltsverzeichnis
Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel
Um „das Mittel“ zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
Arithmetisches Mittel $\bar{x}$
Definition
Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt, wird berechnet, indem man alle vorhandenen Werte addiert und die Summe dieser Werte dann durch die Gesamtanzahl der Werte dividiert.
Beispiel: Bei einem Test erzielten $5$ Teilnehmer*innen folgende Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\}$. Das arithmetische Mittel (= „Durchschnittspunktezahl“) ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
|
Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ dividiert\ durch\ die\ Gesamtanzahl)$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$ |
Idee des arithmetischen Mittels als Schwerpunkt
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
|
|
| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier. |
Das gewichtete arithmetische Mittel
Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das „gewichtete arithmetische Mittel“ verwendet werden:
|
Formel mit der absoluten Häufigkeit
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ absolute\ Häufigkeit\ dividiert\ durch\ die\ Gesamtanzahl)$$ |
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:
Gegeben sind die folgenden Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle:
| Punktezahl $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20 \%$ |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60 \%$ |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20 \%$ |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100 \%$ |
Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
|
Formel mit der relativen Häufigkeit
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ relative\ Häufigkeit)$$
|
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:
Gegeben sind die Punktezahlen $\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
| Punktezahl $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20 \%$ |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60 \%$ |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20 \%$ |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100 \%$ |
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
$$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
Zusammenfassung
|
|
Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den ...
Median $\tilde{x}$
|
Sortiert man eine Datenliste der Größe nach, so ist der Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste.
Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.
Formal: $\begin{align} &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade $n$}\\ &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n}{2}+1 } \right)&& \textrm{ für gerade $n$}\\ \end{align}$ |
Beispiel für den Median: Gegeben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $\tilde{x}$.
Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
| durch Ablesen | $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$ |
| rechnerisch | $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$ |
Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$.
$Aha!$ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) und des Medians noch einmal überprüfen.
Vorteil des Medians - Nachteil des arithmetischen Mittels
Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer als der Median?
Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den „Ausreißer“ $5$ verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
|
Allgemein gilt:
Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind. |
$Aha!$ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (klicke dabei zuerst auf „Median“ und „Mittelwert“ und verändere dann die Zahlen).
Aufgaben zum Arbeitsblatt
- Setze „Zahl der Datenwerte“ auf $5$.
- Schiebe nun 4 Werte auf „$1$“ und einen auf „$4$“. Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
- Verteile anschließend alle $5$ Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
- Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
Lösungen:
1. Der Median ist der mittlere Wert aller $5$ Werte und bleibt deshalb bei $1$. Der Mittelwert liegt dagegen zwischen $1$ und $4$.
2. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der Mitte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
Hinweis: Ein etwas komplexeres Arbeitsblatt findest du hier.
Modus/Modalwert
|
Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d. h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit).
Dann ist der Modus$=2$, da $2$ mit einer absoluten Häufigkeit von $H=3$ erscheint. |
Geometrisches Mittel
Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen „durchschnittlichen [Faktor]“ zu ermitteln. So kann damit beispielsweise der durchschnittliche Wachstumsfaktor oder die durchschnittliche Verzinsung berechnet werden.
|
Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$ der durchschnittliche Wachstumsfaktor.
|
Das jährliche Wachstum eines Kapitals von $K_0=100$ Euro ist in folgender Tabelle gegeben.
| Jahr | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Verzinsung | 5 % | 3 % | -4 % | 2 % | -1 % |
a) Berechnen Sie das Kapital am Ende des $5$. Jahres.
b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durchschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
Wiederholung: Aufzinsen heißt, mit dem Wachstumsfaktor $r$ multiplizieren. $$K_5=K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4\cdot r_5$$ $$K_5=100\cdot 1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99$$ $$K_5=104.84$$
Antwort: Das Kapital nach $5$ Jahren beträgt $€ 104.84$.
b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durchschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
Hier gibt es nun $2$ Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: mithilfe des geometrischen Mittels
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3 \dots r_n}$$
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[5]{1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99}$$
$$\bar{x}_{geo} = 1.0095$$
Der durchschnittliche Zinssatz beträgt $0.95 \%$.
2. Möglichkeit: mithilfe des Anfangs- und Endkapitals und der Formel $K_n=K_0\cdot r^n$
Wir wissen: $K_0=100$ und $K_5=104.84$.
Gesucht ist nun der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor $r$ in der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot r^n$:
$$K_n=K_0\cdot r^n$$ $$104.84=100\cdot r^5$$ $$r=1.0095$$ Der durchschnittliche Zinssatz beträgt $0.95 \%$.
