Inhalt:Statistik:Zentralmaße
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Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel
Um "das Mittel" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
Arithmetisches Mittel $\bar{x}$
Definition
Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen. Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.
Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
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Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$ |
Idee des arithmetischen Mittels als Schwerpunkt
| Übung zur Definition einer Menge |
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Das gewichtete arithmetische Mittel
Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "gewichtete arithmetische Mittel" verwendet werden:
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Formel mit der absoluten Häufigkeit
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$ |
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:
Gegeben sind die folgenden Schulnoten: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
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Formel mit der relativen Häufigkeit
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$
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Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:
Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
$$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
Zusammenfassung
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Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...
Median $\tilde{x}$
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Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste
Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte.
Formal: $\begin{align} &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\ &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n}{2}+1 } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\ \end{align}$ |
Beispiel für den Median: Gegeben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $\tilde{x}$.
Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
| durch Ablesen | $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$ |
| rechnerisch | $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$ |
Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$
$Aha!$ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) und des Medians noch einmal überprüfen.
Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels
Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?
Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
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Allgemein gilt:
Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind |
$Aha!$ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).
Aufgaben zum Arbeitsblatt
- Setze "Zahl der Datenwerte" auf 5.
- Schiebe nun 4 Werte auf "1" und einen auf "4". Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
- Verteile anschließend alle 5 Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
- Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
Lösungen:
1. Der Median ist der mittlere Wert aller 5 Werte und bleibt deshalb bei 1. Mittelwert dagegen liegt zwischen 1 und 4.
2. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der MItte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
Hinweis: Ein etwas komplexeres Arbeitsblatt findest du hier
Modus/Modalwert
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Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d.h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit.
Dann ist der Modus=2, da 2 mit einer absoluten Häufigkeit von H=3 erscheint. |
Geometrisches Mittel
Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen "durchschnittlichen [Faktor]" zu ermitteln. So kann damit bespielsweise der durchschnittliche Wachstumsfaktor oder die durchschnittliche Verzinsung berechnet werden.
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Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$ der durchschnittliche Wachstumsfaktor.
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Das jährliche Wachstum eines Kapitals von $K_0=100$ Euro ist in folgender Tabelle gegeben.
| Jahr | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Verzinsung | 5 % | 3 % | -4 % | 2 % | -1 % |
a) Berechnen Sie das Kapital am Ende des 5. Jahres.
b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
Wiederholung: Aufzinsen heißt, mit dem Wachstumsfaktor $r$ multiplizieren. $$K_5=K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4\cdot r_5$$ $$K_5=100\cdot 1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99$$ $$K_5=104.84$$
Antwort: Das Kapital nach 5 Jahren beträgt € 104.84.
b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
Hier gibt es nun 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Mithilfe des geometrischen Mittels
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3 \dots r_n}$$
$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[5]{1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99}$$
$$\bar{x}_{geo} = 1.0095$$
Der durschnittliche Zinssatz beträgt 0.95 %.
2. Möglichkeit: Mithilfe des Anfangs- und Endkapitals und der Formel $K_n=K_0\cdot r^n$
Wir wissen: $K_0=100$ und $K_5=104.84$.
Gefragt ist nun der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor $r$ in die Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot r^n$:
$$K_n=K_0\cdot r^n$$ $$104.84=100\cdot r^5$$ $$r=1.0095$$ Der durschnittliche Zinssatz beträgt 0.95 %.
