Der Logarithmus (2.3.)

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Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.

Der Logarithmus ist der Exponent

Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:

$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$

Beispiele

• $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
• $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.

Merke

Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h. $$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$

Berechnung mithilfe der Potenzregeln

Mithilfe der Potenzregeln und der Äquivalenz $x=log_a b \Leftrightarrow a^x=b$ lassen sich einfache Logarithmen bestimmen:

Beispiele

• $log_5 125$=log_5 5^3 = 3$ weil $ 5^3=125$ * $log_2 16 = log_2 2^4 = 4$ weil $ 2^4=16$ * $log_3 \frac{1}{9}= log_3 9^{-1}=log_3 (3^2)^{-1}=log_3 3^{-2}=-2$ weil $3^{-2}=\frac{1}{9}$ * $log_16 4 = log_16 \sqrt{16}=log_16 16^{\frac{1}{2} }=\frac{1}{2}$ weil $16^{\frac{1}{2} }=4$ ==Zwei besondere Basen== Besonders zwei Basen spielen bei der Berechnung mit Technogie eine große Rolle: ===$\lg$ - Logarithmus zur Basis 10=== Der ''Logarithmus generalis'' (kurz $\lg$) ist der Logarithmus zur Basis 10. Im Taschenrechner ist dies die Taste $[LOG]$.UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-7-QINU {| align=right |
  • 

    Berechnung des Zehnerlogarithmus mit GeoGebra
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    Berechnung des Zehnerlogarithmus mit dem Ti
  |} '''Beispiele:''' * $\lg(10)$    * $\lg(1000)=3$ * $\lg(0.01)=-2$
  
  
  
  ===$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$=== Der ''Logarithmus naturalis'' (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte [[Eulersche Zahl e|Eulersche Zahl]] ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$. UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-8-QINU {| align=right |
  • 

    Berechnung des natürlichen Logarithmus mit GeoGebra
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    Berechnung des natürlichen Logarithmus mit dem Ti
  |} '''Beispiele:''' * $\ln(e)=1$ * $\ln1000)=6.91$ * $\ln(0.01)=-4.61$
  
  
  
  
  
  ==Rechengregeln des Logarithmus== Mithilfe der [[Potenzen (2.2.)|Rechenregeln für Potenzen]] kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus: {| class="wikitable" |- ! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel |- | 1. "Hoch 1-Regel"|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-9-QINU|| style="text-align:center;" | weil $a^1=a$. Z.B.: UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-10-QINU oder UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-11-QINU |- | 2. "Hoch 0"-Regel|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-12-QINU || style="text-align:center;" | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-13-QINU |- | 3. Produktregel|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-14-QINU|| style="text-align:center;"| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |- | 4. Quotientenregel|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-15-QINU|| style="text-align:center;"|$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |- | 5. Exponentenregel|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-16-QINU|| style="text-align:center;"| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ |- | 6. "Negativ-Regel"|| UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-17-QINU|| style="text-align:center;"| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! |- | 7. Umrechnung im Taschenrechner || UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-18-QINU|| style="text-align:center;"| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.: UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-19-QINU |} == Musterbeispiele == {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |'''Hinweis''' # Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten. # Bei den folgenden Umformen gehen wir "''von außen nach innen''", d.h. wir formen zuerst jene Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term im Logarithmus bezieht. |} Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf: [[Datei:Bsp.png|left]]

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  $\begin{align} \lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c) \end{align}$
  [[Datei:Bsp.png|left]]

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  $\begin{align} \lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\ &\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\ &\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\ &\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5} \end{align}$
  == Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen == Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die [[Der_Logarithmus_(2.3.)#Rechengregeln_des_Logarithmus|5. Regel]] von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht. [[Datei:Bsp.png|left]]

  UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-24-QINU Bestimme den Wert von x!
  
  

  Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen. UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-25-QINU UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-26-QINU UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-27-QINU UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-28-QINU
  {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |* Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg! * Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt. * Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Begründung liegt in Regel 1.: $\lg(10)=\ln(e)=1$ |} [[Datei:Bsp.png|left]]

  UNIQ7015dd4069b52ebb-MathJax-29-QINU Stelle $t$ frei!
  
  

  $\begin{align} N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\ \frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert \ln(\ )\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)& \vert \ln(e)=1\\ \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t & \vert :\lambda \\ \frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t& \end{align}$